Дифференциальное исчисление

курсовая работа

г) Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной, сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 нужно:

1) Найти f(x) - f(x0);

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

.

д) Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x0 дифференцируема, т.е. существует предел:

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где . Домножим равенство на (х - х0), находим, что дифференцируемая в точке x0 функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где . Переходя к пределу при в равенстве получаем:

.

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом, непрерывность в точке - необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Делись добром ;)