Дифференциальные уравнения. Рабочая тетрадь для проведения практических занятий и обеспечения самостоятельной работы по дисциплине "Математика"

курсовая работа

2.2 Теорема 1 (условия существования и единственности задачи Коши)

Задача Коши:

Пусть в ДУ (*) правая часть и ее частная производная по непрерывны на открытом множестве координатной плоскости ОХУ. Тогда справедливы утверждения:

1. Для всякой точки из открытого множества найдется решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию (**)

2. Если два решения и уравнения (*) совпадают хотя бы для одного значения т.е. если то эти решения совпадают при всех значениях переменной , для которых они определены.

Примеры.

1. Это ДУ первого порядка. Общее решение . Условие Теоремы 1 выполнено для всей OXY. Решением задачи Коши с начальными условиями является функция .

2. Это ДУ первого порядка. Общее решение ДУ . Условие Теоремы 1 для всей OXY не выполнено (т.к. частная производная не существует при ). Поэтому единственность решения нарушается в точке .

Упражнения.

1) Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2) Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения , .

Ответы к упражнениям.

1). 2).

Делись добром ;)