Діафантові рівняння

курсовая работа

Розділ ІІ. Приклади розвязання діофантових рівнянь

§1. Приклади розвязання лінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розвязати лінійне діофантове рівняння:

3??.

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розвязків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними ?? та ??.

Знаючи, що ?? та ?? є цілими і додатними розвяжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки ??, 6 і ?? - цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою ??. Тоді

,

де

,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо ??:

.

Оскільки ?? та ?? - цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для ?? та ?? ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розвязок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розвязок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення ?? та ?? в початкове рівняння.

Оскільки , то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для ?? та ?? будуть такими:

,

Формули для визначають розвязки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розвязати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розвязок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо ??:

Очевидно, - ціле число. Позначимо його через ??. Маємо:

Підставляємо вирази для ?? та ?? у друге із початкових рівнянь:

Отримаємо:

Так як неважко встановити межі для ??:

,

З цього можемо зробити висновок, що для ?? можливі тільки два цілих значення: ??=0, ??=1.

Відповідні значення ??, ?? і ?? будуть такими:

??=0

0

1

??=0

20

28

??=0

20

0

??=0

0

3

Перевірка

Задача3.

Вміння розвязувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата - 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розвязку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця ?? не більше 31, а номер місяця ?? не більше 12.

Знаючи, що і, знаходимо межі для

Отже , ??=9, ??=2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

1. Їх додали;

2. Відняли від більшого менше;

3. Перемножили;

4. Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розвязок.

Якщо більше число ??, а менше число ??, то

Якщо рівняння помножити на ??, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але Тому

Щоб ?? було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що ?? не може мати спільні множники із ??+1). Знаючи, що 243=, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо ?? (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді ?? дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розвязок.

Позначимо цифри шуканих чисел через ?? і ??, ?? і ??, отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де ??, ??, ??, ?? - цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розвязки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розвязок:

Із рівності знаходимо два розвязки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розвязків:

§2. Знаходження всіх цілих розвязків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розвязати в цілих числах рівняння

.

Розвязок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

оскільки розвязками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження всіх цілих розвязків даного рівняння треба розвязати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1, ), (), ().

Приклад 2.

Розвязати в цілих числах рівняння

.

Розвязок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розвяжемо його.

Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:

Отже маємо такі системи рівнянь:

Відповідь:

.

Приклад 3.

Розвязати в цілих числах рівняння:

Розвязок.

Перепишемо наше рівняння вигляді:

Тепер розвяжемо дане рівняння, як квадратне відносно ??:

Оскільки , маємо нерівність

Дискримінант набуватиме відємних значень при , тому ?? належить проміжку. Враховуючи те, що ?? є числом цілим, то він може набувати таких значень:

.

3наючи ??, легко можемо знайти ??:

при ??=0, ,

.

при ??=1,

0.

??=0, ??=2.

при ??=2,

??=1, ??=2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Приклад 4.

Знайти всі розвязки рівняння в цілих числах:

Розвязок.

Нехай , де ??, ??, ?? - цілі числа. Тоді число ?? парне. Після заміни отримаємо рівняння

Скоротимо на 2:

Очевидно, що ?? парне число. Після заміни отримаємо рівняння:

Знову скоротимо на 2:

З останнього рівняння бачимо, що ?? парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:

Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .

Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розвязок .

Приклад 5.

Знайти всі розвязки рівняння в раціональних числах.

Розвязок.

Очевидним є розвязок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).

Нехай , де - раціональне число. Тоді

тому ????=, а значить

Нехай - нескоротний дріб. Тоді

та .

Числа ?? і ??+?? взаємно прості, тому число ?? може бути раціональним тільки тому випадку, коли ??= і ??+??= для деяких натуральних ?? та ??. Припустимо, що Тоді

Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому ??=1. Для будь-якого натурального ?? числа

та раціональні і являються розвязками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку

Приклад 6.

Розвязати в цілих числах рівняння

.

Розвязок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :

Або

,

Звідки

Таким чином дане рівняння розпадається на два :

Або

(1)

(2)

Так як , то в (1) невідомий корінь ?? може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) - лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення ?? такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розвязків в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 7.

Розвязати в цілих числах рівняння

Розвязок.

Очевидно, що ?? та ?? не можуть бути відємними числами, так як при

а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях ??. Але з умови випливає, що ?? не може бути парним числом, якщо .

Якщо , то рівняння має вигляд

звідки

Нехай Маємо

Із цього рівняння випливає, що

або , де ?? - натуральне число.

Оскільки і оскільки ?? - непарне число, то ?? - парне число або .

Нехай Тоді , або , звідки

, . Тому або тобто, звідки і тому

Якщо ж , то ?? довільне, ?? ??. І так, при ми маємо, крім тривіального розвязку , де ?? - будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розвязок:

При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розвязків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

Отже, рівняння має тривіальний розвязок де ?? - будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розвязки:

Приклад 8.

Розвязати в натуральних числах рівняння

Розвязок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

або

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа ?? та ?? треба шукати серед розвязків наступних чотирьох систем:

Перша система має єдиний розвязок в натуральних числах третя система має також єдиний розвязок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розвязків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розвязки в натуральних числах: .

Приклад 9.

Розвязати в цілих числах рівняння:

Розвязок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим відємним числом, так як рівності

неможливі при натуральних ??, ??, ??, ??.

Легко перевірити, що . Отже, ??, ?? - натуральні. Із умови випливає:

або

або

Число - парне, якщо

Якщо , то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином, - розвязок даного рівняння.

Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому ?? - парне число; нехай . Тоді

або ,

або .

Якщо ?? - непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .

Тоді з умови маємо

тому - другий розвязок даного рівняння.

Якщо ж ?? - парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

або ;

тому

останнє рівняння не має розвязків, так як ділиться на 5, а не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розвязати в натуральних числах рівняння:

Розвязок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

(1)

Якщо то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність

(2)

Якщо , то , а тому ; значить, при має місце нерівність

(3)

Обєднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння ?? має дорівнювати 1 або 2, а ?? = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише ?? = 2, ?? = 1 є розвязком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

Розвязати в цілих додатних числах систему рівнянь:

Розвязок.

Додавши два рівняння системи, отримаємо

Звідки

(1)

Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо

звідки

(2)

Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо

(3)

Таким чином, із (2) та (3) випливає:

.

Оскільки , можливі лише два випадки:

а)

Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).

Приклад 12.

Показати, що система рівнянь

має єдиний розвязок

Розвязок.

Так, як , то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .

Оскільки (в означенням) , поділивши дві частини рівняння на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння

Оскільки

є цілим числом, то і сума повинна бути цілим числом. Останнє можливо лише в пяти випадках:

Виконавши перевірку, впевнимося в тому, що тільки задовольняє дану систему. Отже, система має єдиний розвязок (1 ,1 ,2 ).

Делись добром ;)