Діафантові рівняння
Розділ ІІ. Приклади розвязання діофантових рівнянь
§1. Приклади розвязання лінійних діофантових рівнянь
Задача1. Розвязати лінійне діофантове рівняння:
3??.
Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розвязків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними ?? та ??.
Знаючи, що ?? та ?? є цілими і додатними розвяжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:
,
звідки
.
Оскільки ??, 6 і ?? - цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою ??. Тоді
,
де
,
і значить,
Із останнього рівняння визначаємо ??:
.
Оскільки ?? та ?? - цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,
,
причому
звідки
+1.
Значення +1 підставимо в попередні рівності:
.
І так, для ?? та ?? ми знайшли представлення:
,
Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розвязок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розвязок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення ?? та ?? в початкове рівняння.
Оскільки , то і
,
З цих нерівностей знаходимо:
Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:
Тоді відповідні значення для ?? та ?? будуть такими:
,
Формули для визначають розвязки даного рівняння у цілих невідємниних числах.
Задача2. Розвязати систему лінійних діофантових рівнянь:
Розвязок:
Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:
Знаходимо ??:
Очевидно, - ціле число. Позначимо його через ??. Маємо:
Підставляємо вирази для ?? та ?? у друге із початкових рівнянь:
Отримаємо:
Так як неважко встановити межі для ??:
,
З цього можемо зробити висновок, що для ?? можливі тільки два цілих значення: ??=0, ??=1.
Відповідні значення ??, ?? і ?? будуть такими:
??=0 |
0 |
1 |
|
??=0 |
20 |
28 |
|
??=0 |
20 |
0 |
|
??=0 |
0 |
3 |
Перевірка
Задача3.
Вміння розвязувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.
Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.
Якщо, наприклад, задумана дата - 9 лютого, то наступні дії будуть такими:
За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.
Задача зводиться до розвязку рівняння з двома невідомими
у цілих, додатних числах, причому число місяця ?? не більше 31, а номер місяця ?? не більше 12.
Знаючи, що і, знаходимо межі для
Отже , ??=9, ??=2.
Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.
Задача4.
Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:
1. Їх додали;
2. Відняли від більшого менше;
3. Перемножили;
4. Поділили більше на менше.
Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.
Розвязок.
Якщо більше число ??, а менше число ??, то
Якщо рівняння помножити на ??, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:
Але Тому
Щоб ?? було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що ?? не може мати спільні множники із ??+1). Знаючи, що 243=, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо ?? (додатне), що дорівнює 8 або 2.
Тоді ?? дорівнює
Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.
Задача5.
Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто
Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?
Розвязок.
Позначимо цифри шуканих чисел через ?? і ??, ?? і ??, отримаємо рівняння:
Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:
де ??, ??, ??, ?? - цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розвязки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:
Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розвязок:
Із рівності знаходимо два розвязки:
Аналогічно знаходимо наступні 14 розвязків:
§2. Знаходження всіх цілих розвязків діофантових рівнянь вищих порядків
Приклад 1.
Розвязати в цілих числах рівняння
.
Розвязок.
Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:
оскільки розвязками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:
Отже, для знаходження всіх цілих розвязків даного рівняння треба розвязати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.
Відповідь: (0, 0), (1, ), (), ().
Приклад 2.
Розвязати в цілих числах рівняння
.
Розвязок.
Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розвяжемо його.
Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:
Отже маємо такі системи рівнянь:
Відповідь:
.
Приклад 3.
Розвязати в цілих числах рівняння:
Розвязок.
Перепишемо наше рівняння вигляді:
Тепер розвяжемо дане рівняння, як квадратне відносно ??:
Оскільки , маємо нерівність
Дискримінант набуватиме відємних значень при , тому ?? належить проміжку. Враховуючи те, що ?? є числом цілим, то він може набувати таких значень:
.
3наючи ??, легко можемо знайти ??:
при ??=0, ,
.
при ??=1,
0.
??=0, ??=2.
при ??=2,
??=1, ??=2.
Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Приклад 4.
Знайти всі розвязки рівняння в цілих числах:
Розвязок.
Нехай , де ??, ??, ?? - цілі числа. Тоді число ?? парне. Після заміни отримаємо рівняння
Скоротимо на 2:
Очевидно, що ?? парне число. Після заміни отримаємо рівняння:
Знову скоротимо на 2:
З останнього рівняння бачимо, що ?? парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:
Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .
Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розвязок .
Приклад 5.
Знайти всі розвязки рівняння в раціональних числах.
Розвязок.
Очевидним є розвязок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).
Нехай , де - раціональне число. Тоді
тому ????=, а значить
Нехай - нескоротний дріб. Тоді
та .
Числа ?? і ??+?? взаємно прості, тому число ?? може бути раціональним тільки тому випадку, коли ??= і ??+??= для деяких натуральних ?? та ??. Припустимо, що Тоді
Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому ??=1. Для будь-якого натурального ?? числа
та раціональні і являються розвязками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку
Приклад 6.
Розвязати в цілих числах рівняння
.
Розвязок.
Перепишемо дане рівняння у вигляді :
Або
,
Звідки
Таким чином дане рівняння розпадається на два :
Або
(1)
(2)
Так як , то в (1) невідомий корінь ?? може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) - лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення ?? такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розвязків в цілих числах.
Відповідь:
Приклад 7.
Розвязати в цілих числах рівняння
Розвязок.
Очевидно, що ?? та ?? не можуть бути відємними числами, так як при
а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях ??. Але з умови випливає, що ?? не може бути парним числом, якщо .
Якщо , то рівняння має вигляд
звідки
Нехай Маємо
Із цього рівняння випливає, що
або , де ?? - натуральне число.
Оскільки і оскільки ?? - непарне число, то ?? - парне число або .
Нехай Тоді , або , звідки
, . Тому або тобто, звідки і тому
Якщо ж , то ?? довільне, ?? ??. І так, при ми маємо, крім тривіального розвязку , де ?? - будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розвязок:
При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розвязків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:
Отже, рівняння має тривіальний розвязок де ?? - будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розвязки:
Приклад 8.
Розвязати в натуральних числах рівняння
Розвязок.
Перепишемо дане рівняння у вигляді:
або
Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа ?? та ?? треба шукати серед розвязків наступних чотирьох систем:
Перша система має єдиний розвязок в натуральних числах третя система має також єдиний розвязок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розвязків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розвязки в натуральних числах: .
Приклад 9.
Розвязати в цілих числах рівняння:
Розвязок.
Ні одне із невідомих не може бути цілим відємним числом, так як рівності
неможливі при натуральних ??, ??, ??, ??.
Легко перевірити, що . Отже, ??, ?? - натуральні. Із умови випливає:
або
або
Число - парне, якщо
Якщо , то , а тому із умови маємо
тобто,
Таким чином, - розвязок даного рівняння.
Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому ?? - парне число; нехай . Тоді
або ,
або .
Якщо ?? - непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .
Тоді з умови маємо
тому - другий розвязок даного рівняння.
Якщо ж ?? - парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:
або ;
тому
останнє рівняння не має розвязків, так як ділиться на 5, а не ділиться на 5.
Відповідь: (1, 1), (2, 3).
Приклад 10.
Розвязати в натуральних числах рівняння:
Розвязок.
Перепишемо рівняння у такому вигляді:
(1)
Якщо то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність
(2)
Якщо , то , а тому ; значить, при має місце нерівність
(3)
Обєднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.
Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння ?? має дорівнювати 1 або 2, а ?? = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише ?? = 2, ?? = 1 є розвязком даного рівняння в натуральних числах.
Відповідь: (2, 1).
Приклад 11.
Розвязати в цілих додатних числах систему рівнянь:
Розвязок.
Додавши два рівняння системи, отримаємо
Звідки
(1)
Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо
звідки
(2)
Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо
(3)
Таким чином, із (2) та (3) випливає:
.
Оскільки , можливі лише два випадки:
а)
Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).
Приклад 12.
Показати, що система рівнянь
має єдиний розвязок
Розвязок.
Так, як , то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .
Оскільки (в означенням) , поділивши дві частини рівняння на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння
Оскільки
є цілим числом, то і сума повинна бути цілим числом. Останнє можливо лише в пяти випадках:
Виконавши перевірку, впевнимося в тому, що тільки задовольняє дану систему. Отже, система має єдиний розвязок (1 ,1 ,2 ).