Додаткові умови збіжності числових рядів

курсовая работа

1. Загальні поняття про числові ряди

Означення. Функція, визначена на множині всіх натуральних чисел, називається числовою послідовністю.[1, 21]

Нехай маємо числову послідовність Складемо з членів цієї послідовності символ

або .(1.1)

Саме його ми і будемо називати числовим рядом, а числа -- членами цього ряду. Довільний або -тий член ряду називається загальним членом. Без додаткових угод символ (1.1) не має ніякого математичного змісту, оскільки поняття суми є означеним тільки для скінченої кількості доданків. Надамо символу (1.1) математичного змісту так, щоб суми скінченої кількості чисел розглядалися як частинний випадок ряду (1.1) і щоб це поняття було засобом розвязування задач з математики.

Означення. Сума -перших членів ряду (1.1) де називається -тою частковою сумою даного ряду (1.1).

Кожному числовому ряду можна поставити у відповідність послідовність його часткових сум (),

Означення. Якщо існує скінчена границя послідовності часткових сум , тобто то числовий ряд називається збіжним, а дану границю називають сумою ряду, при цьому записують +... або , надаючи символу (1.1) числового значення.

Означення. Якщо границя часткових сум не існує або дорівнює , то числовий ряд називається розбіжним і в цьому випадку йому не приписують ніякого числового значення.[1, 21]

Властивості числових рядів

Нехай маємо числовий ряд (1.1) та числовий ряд

Числовий ряд (1.2), який ми отримали з (1.1) шляхом відкидання перших членів називається -тим залишком ряду (1.1). Зауважимо, що ряд (1.1) ми можемо отримати з ряду (1.2) шляхом дописування перших членів.

Якщо -тий залишок ряду збігається, то його суму позначимо через

1. Числовий ряд і його довільний -тий залишок водночас або збігаються або є розбіжними. У випадку збіжності .

2. Якщо числовий ряд збігається, то границя його залишку дорівнює нулю, тобто=0.

3. Числові ряди, , де - довільна стала ( - водночас або збігаються або є розбіжними, причому у випадку збіжності.

4. Якщо числові ряди та збігаються, то водночас збігається і ряд , який називається сумою (різницею) двох даних рядів при цьому . Інакше, збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати.[1, 26]

Для того щоб перевірити, чи збігається ряд або є розбіжним, можна використовувати ознаку Даламбера.

Теорема (ознака збіжності Даламбера). Нехай для знакододатнього ряду існує скінченна границя або нескінчена границя Тоді, якщо - ряд збіжний; якщо , - розбіжний. [5, 4]. Розглянемо приклад застосування .

Приклад 1. Дослідити ряд на збіжність.

Використаємо ознаку Даламбера.

Ряд збігається.

Означення. Числовий ряд називається знакозмінним, якщо знаки його членів строго чергуються. Так, числові ряд є знакозмінним.

Зауважимо, що такі ряди називають і знакопочережними. Оскільки ряд можна отримати помноживши на (-1) і при цьому збіжність або розбіжність даного ряду не зміниться.[4, 7]

Лема. Якщо послідовність монотонна (тобто незростаюча або неспадна) і

то

Доведення. Виконуючи перетворення Абеля, ми маємо

(1.3)

Але з монотонності послідовності випливає, що всі різниці в (1.3) праворуч мають один і той же знак. Отже,

що і потрібно було довести.

Числові ряди мають багато умов збіжності. І деякі з них я розгляну в наступних параграфах.

Делись добром ;)