Додаткові умови збіжності числових рядів

курсовая работа

3. Дослідження ознаки збіжності Раабе

Візьмемо для ознаки Куммера в якості розбіжного ряду гармонійний ряд (3.1). У цьому випадку ми маємо

.

Отримана ознака збіжності може бути сформульована таким чином.

Теорема (ознака збіжності Раабе). Ряд

,

збігається, якщо знайдеться таке, що

(

Цей ряд розбіжний, якщо, починаючи з деякого , буде

[2, 218].

Ознака Раабе (у граничній формі). Якщо

то ряд (3.2) збіжний, а якщо

,

то розбіжний. [5, 4]

Порівнюючи ознаки Даламбера та Раабе, можна побачити, що остання є більш чутливішою ознакою. Дійсно, там, де ознака Даламбера, взята в граничній формі, встановлює збіжність ряду (3.2):

там ознака Раабе дає

Аналогічно для ряду, де ознака Даламбера вказує на розбіжність, то за ознакою Раабе буде:

Розглянемо приклади використання ознаки збіжності Раабе.

Приклад 1.Розглянемо ряд

В цьому випадку ознаку Даламбера використовувати не можна, бо

, (при )

Складемо варіанту Раабе:

Так, як то ряд розбіжний.

Приклад 2. Розглянемо ряд при

В цьому випадку ознаку Даламбера використовувати не можна, бо

так що при кожному конкретному ,тому застосування ознаки Даламбера тут безрезультатно. Ознака ж Раабе дає

Звідси видно, що при розглянутий ряд збігається, а при - розходиться. Зауважимо, що при перетворюється в гармонічний, який, як відомо,є розбіжний.[2, 218 - 221]

Делись добром ;)