Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда

курсовая работа

Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле

Докажем следующую теорему

Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда

где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов где S - исключительное множество в k, - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, - подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S, - подгруппа в подгруппе главных идеалов в, состоящая из таких главных идеалов , для которых и

Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.

1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.

где - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,

где

Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен

в то время как соответствующий локальный множитель справа равен

Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех, имеет место следующее легко проверяемое тождество

отсюда, если положить, следует нужное равенство.

2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства

и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида

соответствующих разветвленным идеалам p.

теорема дзета функция дедекинд

Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций . Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.

Делись добром ;)