Дослідження властивостей гіперболічних функцій

курсовая работа

2.3.3 Поняття нескінченно малої функції в порівнянні з інший

Якщо в деякій проколотій околиці крапки визначені функції

те функцію називають нескінченно малої в порівнянні з функцією при й пишуть

Цей запис читається так:,, є нескінченно мале від при , що прагне до ”. Зокрема, запис означає, що є нескінченно малою функцією при .

Якщо в деякій проколотій околиці крапки , то співвідношення (3) можна записати у вигляді

або у вигляді

Варто мати на увазі, що функції , про які мова йде в записі (3), не обовязково є нескінченно малими при .

Наприклад, якщо , те, а функції і є нескінченно більшими при .

У випадку, коли функція нескінченно мала більше високого порядку, чим . Наприклад, при функції , , нескінченно малі більше високого порядку, чим . Тому справедливі рівності , , , .

Символ у цих рівностях служить для позначення множини або, як прийнято говорити, класу функцій, нескінченно малих більше високого порядку, чим , писати , . Однак другий запис незручний для застосування при виконанні операцій над функціями.

Із сказаного випливає, що рівність виду (3) не є рівністю у звичайному змісті. Така рівність відповідно до визначення запису (3) варто читати тільки ліворуч праворуч, оскільки права частина позначає клас функцій, нескінченно малих у порівнянні із при , а - яка-небудь функція із цього класу.

Відзначимо деякі важливі властивості символу , уважаючи, що

, а рівності, що містять цей символ, читаються ліворуч праворуч (тут З - постійна):

Доведемо перше із цих властивостей.

Треба показати, що будь-яка функція, що належить класу функцій , належить і класу функцій , тобто якщо

По визначенню запис означає, що , де при . Але тоді , де при , тобто

Поряд із символом у математику вживають символ . Запис означає, що в деякій проколотій околиці крапки визначені функції такі, що де - функція, обмежена на , тобто .

Співвідношення (4) читається так: “ є O велике від при , що прагне до ”.

Делись добром ;)