Дослідження властивостей гіперболічних функцій

курсовая работа

5.3 Інтегрування гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій

Інтеграл виду де - раціональна функція від і , зводиться до інтеграла від раціонального дробу за допомогою підстановки тому що

Іноді більше ефективними при обчисленні інтеграла (28) можуть виявитися підстановки

Приклад. Знайти

Рішення. Тому що , те, думаючи , одержуємо

Зробивши обіг таблиці похідних з пункту 3.4, одержимо інтегральні вираження:

,

,

,

,

Наведені інтеграли можна продовжити. Застосовуючи звичайні методи інтегрування функцій з урахуванням співвідношень між гіперболічними функціями, можна одержати ще ряд формул які даються нижче (у додатку).

Розглянемо питання про обчислення інтеграла від раціональної функції гіперболічного синуса й гіперболічного косинуса. У курсі інтегрального вирахування доводиться, що інтеграл , де символ раціональної функції, завжди береться в кінцевому виді за допомогою універсальної підстановки . Зовсім аналогічно можна обчислити інтеграл за допомогою підстановки .

Поклавши , ми одержали , звідки

У свою чергу

Підставляючи отримані вираження , і через у підінтегральне вираження, будемо мати:

де символ раціональної функції від . Тому що інтеграл від раціональної функції завжди може бути виражений за допомогою кінцевого числа елементарних функцій, те й наш інтеграл може бути виражений через елементарні функції від , після чого залишається зробити зворотну заміну через . Приклад.

Делись добром ;)