Дослідження властивостей гіперболічних функцій
5.3 Інтегрування гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій
Інтеграл виду де - раціональна функція від і , зводиться до інтеграла від раціонального дробу за допомогою підстановки тому що
Іноді більше ефективними при обчисленні інтеграла (28) можуть виявитися підстановки
Приклад. Знайти
Рішення. Тому що , те, думаючи , одержуємо
Зробивши обіг таблиці похідних з пункту 3.4, одержимо інтегральні вираження:
,
,
,
,
Наведені інтеграли можна продовжити. Застосовуючи звичайні методи інтегрування функцій з урахуванням співвідношень між гіперболічними функціями, можна одержати ще ряд формул які даються нижче (у додатку).
Розглянемо питання про обчислення інтеграла від раціональної функції гіперболічного синуса й гіперболічного косинуса. У курсі інтегрального вирахування доводиться, що інтеграл , де символ раціональної функції, завжди береться в кінцевому виді за допомогою універсальної підстановки . Зовсім аналогічно можна обчислити інтеграл за допомогою підстановки .
Поклавши , ми одержали , звідки
У свою чергу
Підставляючи отримані вираження , і через у підінтегральне вираження, будемо мати:
де символ раціональної функції від . Тому що інтеграл від раціональної функції завжди може бути виражений за допомогою кінцевого числа елементарних функцій, те й наш інтеграл може бути виражений через елементарні функції від , після чого залишається зробити зворотну заміну через . Приклад.