Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ
Пропозиція 2.1. Множина з n елементів можна лінійно впорядкувати n! способами.
Доказ.
Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементної множини: Рn=n! :
Пропозиція 2.2. Будь-яке кінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.
Доказ.
Нехай є множина А - кінцеве лінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобто будь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В, що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не є найменшим елементом в В, тому є елемент b3<b2. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного натурального n елемент bn+1 B, причому bn+1 < bn.
Таким чином, одержали нескінченну множину {b1, b2, . . . ,bn, . . } , але це суперечить тому, що В - підмножину кінцевої множини А и, отже, саме є кінцевим. :
Пропозиція 2.3. Будь-які два кінцеві ланцюги, що складаються з n елементів, ізоморфні.
Доказ.
нехай є два кінцеві ланцюги з n елементів:
a1 < a2 <…<an,
b1<b2<…<bn.....
Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :
Зауваження: нескінченні лінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками. Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменший елемент, а в Z найменшого елемента немає.
Визначення 2.3. Порядковим типом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійно впорядкованих множин, ізоморфних множині А.
Будемо вважати, що порядковий тип порожньої множини є 0.
Позначимо через n порядковий тип n - елементної множини
Nn = {0, 1, 2,…,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <...< n-1.