Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
Про ізоморфні між собою лінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.
Із часів Кантора порядкові типи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).
Визначення 2.6. Порядкове число менше порядкового числа ( ), якщо яке-небудь цілком упорядкована множина типу ізоморфно деякому відрізку якого-небудь цілком упорядкованої множини типу .
Нехай - деяке ординальне число. Позначимо W( ) - множина всіх ординальних чисел, менших .
Теорема 4.1. Відношення < , установлене для ординальних чисел, перетворює множина W( ) всіх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цілком упорядковану множину типу .
Доказ.
З визначення 2.6 треба, що множина W ( ) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільно обраної множини А типу ; тому що відрізки Ах взаємно однозначно відповідають елементам х А, те маємо взаємно однозначна відповідність = f (х), х А, W( ) між множиною W( ) і множиною А типу . При цьому відповідності з х < x в А треба, що Ах є відрізок множини Ах , виходить, = f (x) < = f (x) в W ( ), і обернено. :
Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетином множини Х, якщо:
А В = Х;
2) А В = ;
3) для будь-яких х А и в У виконується нерівність х < в.
Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел і завжди здійснюється одне й тільки одне із трьох випадків: або < , або = , або > .
Доказ.
Нехай дані два ординальних числа й . З визначення 2.6 і пропозиції 1.4 треба, що й можуть задовольняти не більш, ніж одному із трьох відносин: = , < , > .
Позначимо через D множина W ( ) W ( ). Ця множина є цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерівності , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D W ( ). Якщо D = W ( ), тобто порядковий тип множини W ( ), тобто = . Нехай D W ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )D) є перетин у цілком упорядкованій множині W ( ). Справді, нехай х D, в W ( )D. Тому що W ( ) лінійно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дійсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х < і х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в D. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х D, в W ( )D, а це й означає, що (D, W ( )D) є перетин в W ( ). Нехай < є перший елемент в W ( )D. Тоді відрізок, що відтинається в W ( ) елементом , збігається з D, тобто є порядковий тип множини D, = і < .
Аналогічно доводиться, що .
Однак, нерівності < і < не можуть бути виконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що було б типом відрізка множини D і не могло б бути типом усього D.
Таким чином, є лише наступні можливості:
1) = , = і, виходить, = ;
2) = , = і, виходить, < ;
3) < , = і, виходить, < . :
Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.
Доказ.
Лінійна впорядкованість множини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множина A А має найменший елемент.
Візьмемо який-небудь елемент а A. Якщо а - найменший із чисел
х А, те все доведено. Якщо ж ні, то перетинання W (a) A непорожньо й, будучи підмножиною цілком упорядкованої множини W (a), містить перший елемент а. Ординальне число а і є найменшим елементом в A. :
Визначення 2.8. Нехай є дві впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемо множину А В, що складається із всіх елементів а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо а<a в A або b<b в В, те ті ж відносини зберігаються в А+В; якщо ж а А, b В, те покладемо a<b в А+В. Упорядковане в такий спосіб множина А+У називається порядковою сумою впорядкованих множин А и В. Якщо і є порядкові типи множин А и В, то порядковий тип множини А+У називається сумою + порядкових типів і .
Теорема 4.4. Нехай - яке-небудь ординальне число. Тоді +1 є ординальне число, що безпосередньо випливає за .
Доказ.
Нехай А - яке-небудь цілком упорядкована множина типу . По визначенню додавання порядкових типів множина А типу +1 одержимо, якщо приєднаємо до А новий елемент а, що випливає за всіма елементами а А. Тоді A = Aa, тобто < +1.
Усяке ординальне число < +1 є типом деякого відрізка Аx множини A. Але якщо х = а, те Аx = Aa = A і = ; якщо ж x = a < a, те Ax = Aa і < . :
Теорема 4.5. Нехай А и В - цілком упорядковані множини. Нехай і - їхні порядкові типи. Якщо А В, то .
Доказ.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що < . Тоді множина В ізоморфно відрізку своєї підмножини А, а це суперечить пропозиції 1.3. ¦
Теорема 4.6. Сума будь-яких ординальних чисел х (даних у будь-якому порядку) є ординальне число , не менше, чим кожне з даних що складаються х .
Доказ.
Нехай дане деяке ординальне число й кожному < поставлене у відповідність ординальне число х . Нехай - сума по типі всіх ординальних чисел х ; позначимо її через = .
Якщо Х - яка-небудь множина, упорядкована по типі х , то сума цілком упорядкованого (по типі W ( )) множини множин Х є цілком упорядковану множину Х, типом якого є . Тому що множина Х містить як своя підмножина кожне із множин Х , то на підставі теореми 4.5 для будь-якого х маємо х .:
Теорема 4.7. Для будь-якої множини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, більше кожного із чисел цієї множини.
Доказ.
Нехай є множина ординальних чисел Х. На підставі теореми 4.6 сума всіх елементів х множини Х є ординальне число, більше, ніж кожне з даних х