Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
2.2 Використання обмеженості функції
При рішенні рівнянь і нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто відіграє визначальну роль.
Якщо існує число C таке, що для кожного виконується нерівність f (x) ? C, те функція f називається обмеженої зверху на множині D (малюнок 2).
Малюнок 2
Якщо існує число c таке, що для кожного виконується нерівність f (x) ? c, те функція f називається обмеженої знизу на множині D (малюнок 3).
Малюнок 3
Функція, обмежена й зверху, і знизу, називається обмеженої на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y = f (x), лежить у смузі c ? y ? C (малюнок 4).
Малюнок 4
Якщо функція не є обмеженою на множині, то говорять, що вона не обмежена.
Прикладом функції, обмеженої знизу на всій числовій осі, є функція y = x2. Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (-?; 0) є функція y = 1/x. Прикладом функції, обмеженої на всій числовій осі, є функція y = sin x.
Приклад 2.2.1 Вирішите рівняння
sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)
Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x3 + 2х2 + 1) ? 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ? 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевершує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення тільки при .
При , , тобто при рівняння (4) так само корінь не має .
Відповідь: O.
Приклад 2.2.2 Вирішите рівняння
. (5)
Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями даного рівняння. Для знаходження інших рішень у силу непарності функції f(х) = = x3 - x - sin рx досить знайти його рішення в області х > 0, х ? 1, оскільки якщо x0 > 0 є його рішенням, те й (-x0) також є його рішенням.
Розібємо множину х > 0, х ? 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +?)
Перепишемо початкове рівняння у вигляді x3 - x = sin рx. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x3 - x приймає тільки негативні значення, оскільки х3 < < х, а функція h(x) = sin рx тільки позитивні. Отже, на цьому проміжку рівняння не має рішень.
Нехай х належить проміжку (1; +?). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х3 - х приймає позитивні значення, функція h(x) = sin рx приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2] функція h(x) = sin ?x непозитивна. Отже, на проміжку (1; 2] рівняння рішень не має.
Якщо ж х > 2, то |sin рx| ? 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2• 3 = 6, а це означає, що й на проміжку (1; +?) рівняння також не має рішень.
Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і тільки вони є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь: {-1; 0; 1}.
Приклад 2.2.3 Вирішите нерівність
. (6)
Рішення. ОПЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розібємо ОПЗ нерівності на три множини: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? і розглянемо нерівність на кожному із цих проміжків.
Нехай -? < x < -1. Для кожного із цих x маємо g(x) = < 0, а f(x) = 2x > 0. Отже, всі ці x є рішеннями нерівності.
Нехай -1 < x ? 0. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , а f(x) = 2x ? 1. Отже, жодне із цих x не є рішенням даної нерівності.
Нехай 0 < x < +?. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , a . Отже, всі ці x є рішеннями вихідної нерівності.
Відповідь: .