Дослідження розвитку теорії ймовірності

дипломная работа

1.3 Перші спроби введення аксіоматичного визначення поняття ймовірності

П.Л. Чебишев (1821-1894 р.) був творцем і ідейним керівником петербурзької математичної школи. Чебишев зіграв велику роль у розвитку багатьох розділів математики, у тому числі теорії ймовірностей. У своїй магістерській дисертації в першому розділі він уводить поняття ймовірності. Для цього він, насамперед, визначає рівно можливі події: «Якщо з певного числа різних подій при відомих обставинах один необхідно повинне трапитися, і немає особливої причини очікувати якого-небудь із цих подій переважно перед іншими, те такі події відрізняємо назвою випадків рівно можливих». Не можна сказати, щоб це визначення було досить чітке.

Якщо з n випадків m мають як наслідок деяка подія, то мірою ймовірності цієї події, що називають імовірним, приймають , тобто «відношення числа рівно можливих випадків, сприятливих для події, до числа всіх рівно можливих випадків».

А.А. Марков (1856-1922 р.) був найближчим учнем і кращим виразником ідей Чебишева. У своїй роботі «Вирахування ймовірностей» Марков давав класичне визначення ймовірності, але до визначення рівної можливості («Дві події ми називаємо рівно можливими, якщо немає ніяких підстав очікувати одного з них переважно перед іншим. Кілька подій ми називаємо рівно можливими, якщо кожні два з них рівно можливі») він робив наступну примітку: «На мою думку, різні поняття визначаються не стільки словами, кожне з яких може, у свою чергу, зажадати визначення, як нашим відношенням до них, що зясовується поступово». Визначення поняття ймовірності виглядає так:

«Імовірністю події називається дріб, чисельник якої представляє число рівно можливих випадків, сприятливих цій події, а знаменник-число всіх рівно можливих випадків, що відповідають питанню». [1,2]

У своїй книзі «Теорія ймовірностей» С.Н. Бернштейн спробував увести визначення поняття ймовірності аксіоматичним способом.

З аксіоми порівняння ймовірностей і аксіоми про несумісні події Бернштейн робить наступний висновок: «Якщо події X сприяють m випадків із загального числа всіх n єдино можливих, несумісних і рівно можливих випадків, то ймовірність події X залежить тільки від чисел m і n (а не від природи розглянутого досвіду), тобто ймовірність X=F (m, n), де F (m, n) є деяка певна функція».

Але, цим аксіомам задовольняє тільки функція виду F( ), причому-це зростаюча функція дробу . Будь-яку таку функцію F( ) можна прийняти за ймовірність X. Загальноприйняте вважати F( )= . Це і є ймовірність події X у висловлених умовах, а точніше класичне визначення ймовірності.

Із упевненістю можна сказати, що визначення поняття ймовірності лежить в основі будь-якої аксіоматичної системи теорії ймовірностей. На недоліки класичного визначення ймовірності вказували давно. Були видні й недоліки субєктивного трактування ймовірності, що йде від Лапласа. Критикові цих недоліків зустрічали доброзичливо. Найбільш широке поширення одержали роботи в цьому напрямку німецького вченого Р. Мизеса (1883-1953 р.), що з гітлерівської Німеччини емігрував у США, де він очолив Інститут прикладної математики. Мизес є засновником так званої частотної концепції в теорії ймовірностей.

Основним поняттям у частотній теорії Мизеса є поняття колективу. Під колективом розуміється нескінченна послідовність k-однакових спостережень, кожне з яких визначає деяку крапку, що належить заданому простору кінцевого числа вимірів. Говорити про ймовірність, по Мизесу, можна тільки тоді, коли існує ця певна сукупність подій. Колектив, по Мизесу, "...повинен задовольняти наступним двом вимогам:

відносні частоти появи певної події в послідовності незалежних випробувань мають певні граничні значення;

граничні значення, про які говориться в першій вимозі, залишаються незмінними, якщо із всієї послідовності вибрати будь-яку підпослідовність.

Взявши за основу той факт, що ймовірність і частота - звязані між собою величини, Мизес визначає ймовірність як граничне значення частоти: «Обґрунтоване припущення, що відносна частота появи кожного одиничного спостережуваної ознаки прагне до певного граничного значення. Це граничне значення ми називаємо ймовірністю».

Але насправді ніякого обґрунтованого припущення в нас немає. Ми ніколи не можемо знати, чи має дана частота чи межа ні, хоча б уже тому, що для цього довелося б зробити нескінченне число досвідів. Це визначення неспроможне математично, тому що ми не можемо вказати функціональної залежності між кількістю випробувань n і частотою появи подій , де m-кількість появ події, а, не вказавши такої залежності, ми не можемо обчислити межу, , що прийнята за ймовірність.

Найбільші представники теорії ймовірностей ніколи не були прихильниками частотної школи, а прихильники цієї школи не одержали істотних результатів у теорії ймовірностей.

Спроб обґрунтувати теорію ймовірностей було досить багато. Наприклад, італійський математик Б. Финетті висунув субєктивне тлумачення ймовірності. Таким підходом до ймовірності він намагався перебороти протиріччя, які виникли й у класичній теорії ймовірностей і в частотній школі Мизеса. По Финетті ймовірність є чисто субєктивною величиною. Кожна людина по-своєму оцінює ймовірність тієї або іншої події.

Трохи пізніше Джеффрис розробляв поняття ймовірності як ступеня правдоподібності. Уперше ця концепція була висунута Кейнесом в 1921 р. По цій теорії кожна пропозиція має певну ймовірність. Ймовірностям такого роду не можна дати частотної інтерпретації. Розробка теорії ступенів правдоподібності триває деякими математиками й у наші дні.

Делись добром ;)