3.2 Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону більших чисел

Я. Бернуллі писав: «…І що не дано вивести a priori те, принаймні, можна одержати a posteriori, тобто з багаторазового спостереження результатів...».

Бернуллі затверджує, що якщо в азартних іграх завжди можна порахувати число випадків, а самі випадки зустрічаються однаково легко, те в інших явищах у природі й суспільстві ні те ні інше не має.

«Все йдеться до того, щоб для правильного складання пропозицій про яку-небудь річ були точно обчислені як числа випадків, так і було б визначене наскільки одні випадки можуть легше зустрітися, чим інші...». Але це зовсім неможливо зробити для більшості явищ. Однак Бернуллі знайшов вихід зі сформованої ситуації. Він затверджує, що при збільшенні числа випробувань, частота появи якої-небудь події буде мало відрізнятися від імовірності появи цієї події. І чим більше число випробувань, тим менше ця відмінність. «Варто помітити, що відношення між числами випадків, які ми бажаємо визначити досвідом, розуміється не в змісті точного відношення..., але до відомого ступеня наближеного, тобто увязненого у двох границях, які можна взяти як завгодно тісними».

У допомогу доказу своєї теореми Бернуллі доводить ряд лем [1].

Лема 1.

Розглядаються два ряди

0, 1, 2, ..., r - 1, r, r + 1, ..., r + s;

0, 1, 2, …, nr - n, …, nr, …, nr + n, …, nr + ns

і затверджується, що зі збільшенням n росте кількість членів між nr і nr + n; nr і nr - n; nr + n і nr + ns; nr і 0. Крім того, як би велико не було n, число членів після nr + n не буде перевищувати більш ніж в s - 1 раз число членів, укладених між nr і nr + n або між nr і nr - n, а також число членів до nr - n не буде перевищувати більш ніж в r - 1 раз число членів між тими ж числами.

Доказ.

Знайдемо кількість членів між зазначеними в лемі членами розглянутих рядів. Для цього введемо позначення:

-число членів між nr і nr+n;

-число членів між nr і nr-n;

-число членів між nr+n і nr+ns;

-число членів між nr і 0;

-число членів після nr+n;

-число членів до nr-n.

;

;

;

.

Очевидно, що зі збільшенням n (тобто при ) , , , будуть необмежено зростати.

Знайдемо число членів після nr+n ( ), мабуть, що = = .

Очевидно, що = = , тобто число членів після nr+n не перевищує більш ніж в s-1 раз число членів увязнених між nr і nr+n або між nr і nr-n, для будь-якого n.

Знайдемо число членів до nr-n ( ), мабуть, що , а значить = = , тобто число членів до nr-n не перевищує більш ніж в r-1 раз число членів увязнених між nr і nr+n або між nr і nr-n, для будь-якого n.

Що й було потрібно довести.

Лема 2.

Усякий цілий ступінь якого-небудь двочлена r + s виражається числом членів, на одиницю більшим числа одиниць у показнику ступеня.

Доказ.

Розглянемо , де x (x - ціле число)

= .

Складемо ряд зі ступенів одночлена s (або r)

0,1,2,..., x-2, x-1, x. Число членів у цьому ряді дорівнює x+1.

Т. о. усякий цілий ступінь двочлена r + s виражається числом членів, на одиницю більшим числа одиниць у показнику ступеня. Що й було потрібно довести.

Лема 3.

У будь-якому ступені двочлена r + s, принаймні в t=r+s або nt=nr+ns, деякий член M буде найбільшим, якщо числа попередніх йому й наступних за ним членів перебувають у відношенні s до r або, що те ж, якщо в цьому члені показники букв r і s перебувають відносно самих кількостей r і s; більше близький до нього член з тієї й іншої сторони більше вилученого з тієї ж сторони; але той же член M має до більше близького менше відношення, чим більше близький до більше вилученого при рівному числі проміжних членів.

Доказ.

Відзначається, що коефіцієнти членів рівно віддалених від кінців рівні. Число всіх членів nt+1=nr+ns+1. Найбільший член буде:

M= = .

M можна записати в іншому виді, скориставшись наступною формулою .

M= = .

Найближчий до нього ліворуч член дорівнює

;

праворуч - .

Наступний ліворуч - ;

праворуч - і т.д.

; ;

; , і т.д.

Очевидно, що:

, M-Найбільший член.

Що й було потрібно довести.

Лема 4.

У ступені двочлена з показником nt число n може бути взяте настільки більшим, щоб відношення найбільшого члена M до двох іншим L і , що відстоїть від нього ліворуч і праворуч на n членів, перевершило всяке дане відношення.

Доказ.

M= = ;

L= ;

= .

Для доказу леми необхідно встановити, що

и.

= = =

= .

= = = = .

Але ці відносини будуть нескінченно більшими, коли n покладається нескінченним, тому що тоді зникають числа 1, 2, 3 та ін. у порівнянні з n, і самі числа , , та ін. , , та ін. будуть мати ті ж значення, як і . Після цього відкинувши ці числа й провівши відповідні скорочення на n, одержимо, що

= ; = .

Кількість співмножників у чисельнику й знаменнику дорівнює n. Внаслідок чого ці відносини будуть нескінченними ступенями виражень: і й тому нескінченно більшими.

Таким чином, ми зясували, що в нескінченно високому ступені двочлена відношення найбільшого члена до іншим L і перевершує всяке задане відношення.

и.

Що й було потрібно довести.

Лема 5.

Відношення суми всіх членів від L до до всім іншим зі збільшенням n може бути зроблене більше всякого заданого числа.

Доказ.

M - найбільший член розкладання.

Нехай сусідні з ним ліворуч будуть F, G, H,…;

нехай сусідні з L ліворуч будуть P, Q, R,…...

На підставі леми 3 маємо:

< ; < ; < , … або < < < <…...

Тому що по лемі 4, при n нескінченно великому, відношення нескінченно, те тим більше будуть нескінченними відносини , , ,…,і тому відношення також нескінченно, тобто сума членів між найбільшим M і межею L нескінченно більше суми такого ж числа членів за межею L і найбільше до нього близьких. І тому що число всіх членів за межею L перевищує, по лемі 1, не більш ніж в s-1 раз (тобто кінцеве число раз) число членів між цією межею й найбільшим членом M, а самі члени робляться тим менше, ніж далі вони відстоять від межі, по першій частині леми 3, то сума всіх членів між M і L (навіть не вважаючи M) буде нескінченно більше сум всіх членів за межею L. Аналогічне твердження можна довести щодо членів між M і . Обоє ці твердження й доводять лему.

Що й було потрібно довести.

Головна пропозиція.

Нехай число добрих нагод ставиться до числа несприятливих точно або приблизно, як r до s, або до числа всіх випадків, як r до r+s або r до t, це відношення полягає в межах і . Потрібно довести, що можна взяти стільки досвідів, щоб у яке завгодно дане число раз (c раз) було ймовірніше, що число сприятливих спостережень потрапить у ці межі, а не поза ними, тобто відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх буде не більш ніж і не менш .

Доказ.

Нехай число необхідних спостережень буде nt. Імовірність того що всі спостереження будуть сприятливі, дорівнює

,

що все крім одного

,

крім двох

і т.д.

А це є члени розкладання (r+s) у ступені nt (ділені на ), які досліджувалися в минулих лемах. Всі подальші висновки ґрунтуються на доведених лемах. Число випадків з ns несприятливими спостереженнями й nr сприятливими дає член M. Число випадків, при яких буде nr+n або nr-n сприятливих спостережень, виражається членами L і , що відстоять на n членів від M. Отже, число випадків, для яких сприятливих спостережень виявиться не більше nr+n і не менш nr-n, буде виражатися сумою членів, укладених між L і . Загальне ж число випадків, для яких сприятливих спостережень буде або більше nr+n або менше nr-n, виражається сумою членів, що стоять лівіше L і правіше .

Тому що ступінь двочлена може бути взята настільки більша, щоб сума членів, укладених між обома межами L і перевершувала більш ніж в c раз суму всіх інших із цих меж вихідних, по лемах 4-й і 5-й, те, отже, можна взяти настільки велика кількість спостережень, щоб число випадків, при яких відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх виявляється увязненим у межі й або й , перевищувало більш ніж в c раз число інших випадків, тобто зробилося більш ніж в c раз імовірніше, що відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх полягає в межах і , а не поза цими межами.

Що й було потрібно довести.

Для порівняння дамо сучасне формулювання теореми Бернуллі.

Теорема Бернуллі.

Якщо ймовірність настання події A у послідовності незалежних випробувань постійна й дорівнює p, те, яке б не було позитивне число , з імовірністю як завгодно близької до одиниці, можна затверджувати, що при досить великій кількості випробувань n різниця по абсолютній величині виявиться меншої, чим :

,

де -будь-яке мале число.

Ця теорема буде доведена нами пізніше (після введення нерівності Чебишева).

Завжди може трапитися, що, яким би більшим не було n, у даній серії з n випробувань виявиться більше . Але, відповідно до теореми Бернуллі ми можемо затверджувати, що якщо n досить велике і якщо зроблено досить багато серій випробувань по n випробувань у кожній серії, то в гнітючому числі серій нерівність буде виконано.

Бернуллі вважає, що з доведеної теореми «випливає те дивне, очевидно, наслідок, що якби спостереження над всіма подіями продовжувати всю вічність (причому ймовірність, нарешті, перейшла б у повну вірогідність), те було б замічене, що все у світі управляється точними відносинами й постійним законом зміни, так, що навіть у речах, найвищою мірою випадкових, ми примушені були б визнати як би деяку необхідність і, скажу я, доля».

А.А. Марков писав, що в цій роботі Бернуллі «уперше була опублікована й доведена знаменита …теорема, що поклала початок закону більших чисел…»... Пуассон (1781-1840 р.) у своїй роботі «Дослідження про ймовірність судових вироків по карних і цивільних справах» займався граничними пропозиціями. У результаті він довів свою знамениту теорему, який дали назву «закон більших чисел» [1]. Теорема Пуассона формулювалася в такий спосіб.

Теорема.

Якщо виробляється n незалежних випробувань, результатами яких є настання або не настання події A, причому ймовірність настання події в окремих випробуваннях неоднакова, то з імовірністю, як завгодно близької до одиниці (або, інакше кажучи, - до вірогідності), можна затверджувати, що частота настання події A буде як завгодно мало відрізнятися від середньої арифметичної ймовірностей настання події в окремих випробуваннях.

Тепер цю теорему записують так:

Якщо ж імовірність настання події не буде змінюватися від випробування до випробування, то =p, і теорема Пуассона в цьому випадку переходить у теорему Я. Бернуллі, що, таким чином, є часткою случаємо теореми Пуассона.