Дослідження розвитку теорії ймовірності

дипломная работа

3.3 Нерівність Чебишева. Закон більших чисел у формі Чебишева

17.12.1866 р. Чебишев доповів Академії наук свою роботу «Про середні величини», що була опублікована в 1867 р. В «Математичному збірнику». У цій роботі Чебишев довів одну важливу нерівність, що тепер називається нерівністю Чебишева. За допомогою цієї нерівності Чебишев одержав теорему, з якої як наслідки виходять теореми Бернуллі й Пуассона. На початку роботи «Про середні величини» Чебишев доводить теорему [1,6].

Теорема.

Якщо математичне очікування величин x, y, z,... суть a, b, c,...,

а математичне очікування квадратів , , ,…суть , , ,…,те ймовірність, що сума x+y+z+... полягає в межах

,

,

при всякому значенні залишається більше .

Далі Чебишев переходить до наступної теореми.

Якщо ми зобразимо через N число величин x, y, z,…,u,думаючи в доведеній зараз теоремі , розділимо на N як суму x+y+z+…,так і межі її

,

,

те із цієї теореми одержимо наступну щодо середніх величин.

Теорема.

Якщо математичне очікування величин

x, y, z,…,,,,…суть a, b, c,…,,,,…,те ймовірність, що середнє арифметичне N величин x, y, z,…,від середнього арифметичного математичних очікувань цих величин відрізняється не більше як на при всякому значенні, буде перевершувати .

Це і є знаменита нерівність Чебишева, що у сучасній формі записується в такий спосіб:

,

де випадкова величина x має кінцеву дисперсію , а -будь-яка відмінна від нуля позитивна величина.

Дійсно, першу теорему Чебишева можна записати так:

Застосуємо цю теорему до випадкової величини x:

.

Але ,

,

, .

Нехай , тоді й одержуємо звичну формулу для нерівності Чебишева

.

Сформулюємо відповідну теорему й доведемо в ній ця нерівність.

Теорема.

Нехай є випадкова величина з математичним очікуванням і дисперсією .

Нерівність Чебишева затверджує, що, яке б не було позитивне число , імовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на , обмежена зверху величиною :

.

Доказ.

1. Нехай величина дискретна, з поруч розподілу

Зобразимо можливі значення величини і її математичне очікування у вигляді крапок на числовій осі Ox.

Делись добром ;)