Дослідження розвитку теорії ймовірності
3.3 Нерівність Чебишева. Закон більших чисел у формі Чебишева
17.12.1866 р. Чебишев доповів Академії наук свою роботу «Про середні величини», що була опублікована в 1867 р. В «Математичному збірнику». У цій роботі Чебишев довів одну важливу нерівність, що тепер називається нерівністю Чебишева. За допомогою цієї нерівності Чебишев одержав теорему, з якої як наслідки виходять теореми Бернуллі й Пуассона. На початку роботи «Про середні величини» Чебишев доводить теорему [1,6].
Теорема.
Якщо математичне очікування величин x, y, z,... суть a, b, c,...,
а математичне очікування квадратів , , ,…суть , , ,…,те ймовірність, що сума x+y+z+... полягає в межах
,
,
при всякому значенні залишається більше .
Далі Чебишев переходить до наступної теореми.
Якщо ми зобразимо через N число величин x, y, z,…,u,думаючи в доведеній зараз теоремі , розділимо на N як суму x+y+z+…,так і межі її
,
,
те із цієї теореми одержимо наступну щодо середніх величин.
Теорема.
Якщо математичне очікування величин
x, y, z,…,,,,…суть a, b, c,…,,,,…,те ймовірність, що середнє арифметичне N величин x, y, z,…,від середнього арифметичного математичних очікувань цих величин відрізняється не більше як на при всякому значенні, буде перевершувати .
Це і є знаменита нерівність Чебишева, що у сучасній формі записується в такий спосіб:
,
де випадкова величина x має кінцеву дисперсію , а -будь-яка відмінна від нуля позитивна величина.
Дійсно, першу теорему Чебишева можна записати так:
Застосуємо цю теорему до випадкової величини x:
.
Але ,
,
, .
Нехай , тоді й одержуємо звичну формулу для нерівності Чебишева
.
Сформулюємо відповідну теорему й доведемо в ній ця нерівність.
Теорема.
Нехай є випадкова величина з математичним очікуванням і дисперсією .
Нерівність Чебишева затверджує, що, яке б не було позитивне число , імовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на , обмежена зверху величиною :
.
Доказ.
1. Нехай величина дискретна, з поруч розподілу
Зобразимо можливі значення величини і її математичне очікування у вигляді крапок на числовій осі Ox.