Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

курсовая работа

1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

Щоб довести незалежність деякої аксіоми а від інших аксіом теорії T, досить побудувати таку реалізацію R системи аксіом теорії Т в якій аксіома а не виконується. Якщо таку реалізацію вдається побудувати, то аксіома а - незалежна. Дійсно, якби аксіома а була наслідком інших аксіом, то це було б і в реалізації R, тобто в R було б справедливе твердження a, що суперечить побудові R.

Цим способом ми й доведемо незалежність аксіоми існування відрізка даної довжини від інших аксіом евклідової геометрії. [3,c.420].

Теорема 3. Аксіома існування відрізка заданої довжини незалежна, тобто не може бути одержана як наслідок з інших аксіом евклідової геометрії.

Доведення. Позначимо через G сукупність дійсних чисел, яка містить всі раціональні числа, а також всі числа, які одержуються з раціональних чисел за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. Числами із G не вичерпуються всі дійсні числа.

Побудуємо тепер декартову реалізацію системи аксіом тим самим способом, що й раніше, але будемо користуватись при цьому лише числами із G. Наприклад, точкою назвемо пару чиселіз G, прямою - сукупність точок, які задовольняють рівняння з коефіцієнтами а, b, с із G і т.д. Перевіряючи виконання аксіом, ми слово в слово повторимо всі проведені нами раніше доведення. При цьому встановимо виконання всіх аксіом, крім аксіоми існування відрізка даної довжини. Ця аксіома в даній реалізації не буде виконуватися. Дійсно, довжина відрізка з кінцями в даній реалізації визначається за формулою

Через те що числа G, то й d G. Оскільки ж числа G не вичерпують всіх дійсних чисел, то знайдеться таке дійсне число d, яке в даній реалізації не може бути довжиною жодного відрізка. Наприклад, у даній реалізації не існує відрізка довжиною .

Таким чином, аксіома існування відрізка даної довжини залежить від інших аксіом евклідової геометрії [13,c.311].

Делись добром ;)