2.3 Повнота системи аксіом Вейля
Як уже зазначалося, для доведення повноти системи аксіом треба показати, що будь-які дві її реалізації ізоморфні між собою.
Для доведення повноти системи аксіом Вейля використаємо декартову реалізацію, оскільки в наслідках з аксіом Вейля зазначалось, що в просторі можна ввести прямокутну декартову систему координат. [19,c.106].
У системі координат координатами точки М простору назвемо координати вектора . При цьому кожній точці М простору ставиться у відповідність упорядкована трійка чисел, причому ця відповідність буде взаємно однозначною.
Якщо точки А і В мають відповідно координати і то вектор матиме своїми координатами числа .
Тепер можна довести, що будь-яка реалізація аксіоматики простору ізоморфна декартовій (арифметичній) реалізації системи аксіом Вейля евклідової геометрії (п. 5.3.1).
Справді, нехай М - деяка довільна реалізація даної аксіоматики. Введемо в цій реалізації прямокутну декартову систему координат і кожній точці, кожному вектору поставимо у відповідність їх координати. Ці ж самі основні обєкти (вектори і точки) в арифметичній реалізації визначені за допомогою дійсних чисел. З правил операцій над векторами і правил визначення координат вектора за координатами його кінцевих точок випливає, що основні відношення між точками і векторами в обох реалізаціях мають однаковий зміст, тобто довільна реалізація М аксіоматики Вейля ізоморфна арифметичній реалізації. Оскільки поняття ізоморфізму має властивість транзитивності, то звідси також випливає, що будь-які дві інтерпретації аксіом Вейля евклідової геометрії ізоморфні між собою.
Отже, система аксіом Вейля евклідової геометрії є повною [4,c.54].
- ВСТУП
- § 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)
- 1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- 1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини
- 1.4 Незалежність аксіоми паралельних
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
- 2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3
- 2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля
- 2.3 Повнота системи аксіом Вейля
- $ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського
- 3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна
- 3.2 Реалізація Пуанкаре
- ВИСНОВКИ
- Послідовники Піфагора
- Говорячи про несуперечливість системи аксіом, то вона називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.
- 2.3. Повнота системи аксіом Вейля
- 1.2. Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.1. Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом г. Вейля евклідової геометрії
- Висновки
- Курсова робота