1.1. Процесс формирования математических понятий на уроках математики

Мы отличаем один объект (явление) от другого, пользуясь различными качествами, признаками или особенностями объектов (и явлений). Среди различных свойств изучаемых объектов можно выделить: 1) единичные (индивидуальные) свойства; 2) общие свойства.

Для единичных свойств некоторого объекта характерно то, что они являются его отличительными свойствами. Например: а) Самая большая река в Европе - Волга; б) уравнение второй степени с одной переменной - квадратное уравнение.

Общие свойства некоторого объекта могут быть как отличительными, так и неотличительными его свойствами. Например, люди - позвоночные существа (неотличительное свойство). Общее свойство объекта может быть его отличительным свойством, если оно выражает так называемые существенные свойства этого объекта, свойства, которые являются его признаками, выделяющими его из множества других объектов. Например, люди - существа с членораздельной речью. В процессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особая форма мышления называемая понятием.

Что же является характерным для такой формы мышления, как понятие?

Во-первых, то, что понятие есть продукт высокоорганизованной материи; во-вторых, то, что понятие отражает материальный мир; в-третьих, то, что понятие предстает в познании как средство обобщения; в-четвертых, то, что понятие означает специфически человеческую деятельность; в-пятых, то, что формирование понятия в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Процесс формирования некоторого понятия - постепенный процесс, в котором можно усмотреть несколько последовательных стадий. Попытаемся проиллюстрировать этот процесс на простейшем примере - формировании у детей понятия о числе 3.

1) На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами, такими, например, какие изображены на рисунке 1. Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии процесса познания они могут обращать внимание (усматривать) самые разнообразные конкретные свойства как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами.

Этот процесс «видения» создает в сознании ребенка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием (ощущением). Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании - первая ступень в формировании соответствующего ему понятия. Восприятие существует в сознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явления воздействуют на его органы чувств; в то же время оно не исчезает бесследно.

2) Уберем объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по «три». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма представление о числе «три».

3) До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по 3 предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три», характеризует любое множество любых элементов вида (а,b, с). Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств - «иметь три элемента». Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировано понятие о числе 3.

Понятно, что приведенная нами иллюстративная схема является лишь грубым приближением к реальному процессу мышления. Вместе с тем даже из этого простейшего иллюстративного примера видно, что понятия образуются путем операции обобщения, которая неразрывно связана с абстрагированием.

Отметим, что известно несколько видов обобщения. Один из них строится на основе выделения общих признаков объектов, отбрасывании тех, которыми они отличаются. Так, например, рассматривая такие понятия, как «треугольник АВС», «треугольник» и «многоугольник», нетрудно установить, что основное различие между ними состоит именно в степени обобщенности: понятие «треугольник» шире, чем понятие «треугольник АВС», а понятие «многоугольник» шире, чем «треугольник». Возрастание обобщенности понятий происходит по мере того, как отбрасываются те свойства-признаки, которые отличают одни объекты от других. Так, в понятии «многоугольник» выделены лишь общие признаки, присущие всем многоугольникам, те же, которые отличают один вид многоугольника от другого, отброшены.

В научном познании такого рода понятия, называемые абстрактными, имеют существенное значение, позволяя классифицировать объекты, сравнивать их между собой, отождествлять или различать и т.д.

Обобщение объектов и явлений посредством понятия увеличивает познавательную ценность мышления, во-первых, потому, что более общие понятия дают возможность мысленно обозреть и изучить более обширное множество объектов, а во-вторых, потому, что, отбрасывая индивидуальные признаки объекта, мы тем самым выявляем общие, более устойчивые признаки, которые ранее в рамках более узких понятий оставались нераскрытыми.

Другой способ обобщения позволяет образовывать так называемые конкретные понятия. Особенность его состоит в том, что обобщение здесь происходит не только путем выделения общих свойств объектов, но и путем сохранения в понятии его особенных и единичных признаков.

Так, например, в математическом понятии «производная» обычно выступает необходимость наряду с выделением общих свойств, присущих всем видам производной, указать и специфические свойства этого понятия: производная непрерывной функции, производная трансцендентной функции и т.п.

Таким образом, в отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиеся признаками этого понятия).

Итак, понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Так, для понятия «параллелограмм» содержание будет представлено такими, например, свойствами: 1) противоположные стороны конгруэнтны; 2) противоположные углы конгруэнтны, 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам и т.д.

Объем понятия «параллелограмм» представлен множеством таких четырехугольников, как: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты

Приведенный пример показывает, что содержание понятия - это множество признаков понятия, из которых каждый необходим, а все вместе достаточны для установления понятия.

Содержание понятия жестко определяет его объем, и, наоборот, объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует в некотором смысле обратная зависимость. Так, например, если увеличить содержание понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны), то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если, например, увеличить объем понятия «сокращение дроби», включив его в понятие «тождественные преобразования» (разложение на множители или слагаемые, сокращение дроби и т.д.), то содержание этого понятия уменьшится (возможность деления компонентов выражения на одно и то же число исчезает для большинства тождественных преобразований).

В процессе обобщения объем понятия становится шире, а его содержание - более узким.

В процессе специализации понятия - наоборот: сужается объем понятия, но расширяется его содержание. Следует заметить, что рассмотренная зависимость между содержанием и объемом некоторого понятия имеет место лишь тогда, когда в процессе изменения содержания объем одного понятия является подмножеством объема другого понятия.

Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому их выражению. Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки или техники, называется научным термином. Например, слово «ромб» - математический термин. При этом необходимо, чтобы символика и речь (и в частности, термин) выражали данное понятие однозначно. В качестве контрпримера можно привести слова, называемые омонимами. Одно из них - известный школьный термин «корень», который можно понимать в различных смыслах (корень уравнения, корень растения, корень квадратный из числа, «корень зла»). В данном случае слово играет отрицательную роль: понятие не выражается им однозначно.

С другой стороны, существуют различные термины, выражающие одно и то же понятие, причем совершенно однозначно (слова-синонимы). Например, термин «квадрат» можно заменить терминами «правильный четырехугольник», «ромб с прямым углом» и т.д. В данном случае роль слова положительна: оно уточняет понятие.

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое 7 или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе - достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков. Вот пример правильного определения понятия параллелограмма: «Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны попарно равны и параллельны»; а вот контрпримеры определений понятия «квадрат»: 1) квадрат - параллелограмм, у которого все углы прямые (недостаточное); 2) квадрат - ромб с прямым углом (правильное); 3) квадрат - параллелограмм с равными сторонами и с четырьмя прямыми углами (избыточное).

Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакие определения не доказываются. Вместе с тем в процессе обучения математике можно (и полезно) мотивировать то или иное определение понятия. Хотя определение понятия - суть условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия или в соответствии с теми или иными требованиями (при введении нового понятия). Для некоторых понятий их определения и выражающие их термины выглядят вполне естественными (треугольник - многоугольник с тремя внутренними углами); для других необходимы мотивировка или - пояснение.

Некоторые первоначальные математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятие множество - неопределяемое понятие.

Определение каждого понятия можно было бы рассматривать в динамике, т.е. в виде процесса сведения одного понятия к другому. Последовательность шагов здесь конечна, так как, продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к понятиям, считающимся первоначальными.

В последовательности понятий, полученной в результате процесса определения некоторого понятия, каждое понятие (начиная со второго) является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объемы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения: vl v2 v3... vn.

Например (рис.1): квадрат есть особый ромб; ромб - особый параллелограмм; параллелограмм - особый четырехугольник; четырехугольник - особый многоугольник; многоугольник - особая геометрическая фигура; геометрическая фигура - точечное множество.

Таким образом, мы дошли до первоначальных понятий: точка и множество.

В процессе обучения такие понятия должны быть особо выделены, а принятие их в качестве основных мотивировано.

Понятие может быть правильно определено различными способами.

1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб-параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

На языке теории множеств и математической логики сущность этого способа определения понятия заключается в следующем:

Если во множестве А имеются элементы х, обладающие некоторым свойством Р(х), и элементы, не обладающие этим свойством, то данное свойство Р(х) разбивает множество А на два подмножества:

причем эти два множества таковы:

Здесь множество А есть множество объектов, принадлежащих родовому понятию, а свойство Р есть видовой признак (видовое отличие) данного понятия. В определении «квадрат - прямоугольник с равными сторонами» множеством А является множество всех прямоугольников, а свойством Р (видовым отличием понятия «квадрат») является свойство «иметь «не стороны».

2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = a n-1 + d определяет арифметическую прогрессию.

4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.

Процесс выяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.

Например, классификацию понятия натурального числа можно провести так, как показано на следующей схеме (рис.2).

Рис.2.

Правильная классификация предполагает соблюдение определенных условий, которые могут быть проиллюстрированы вышеприведенной схемой классификации натуральных чисел:

1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В приведенном примере таким признаком является число простых делителей данного натурального числа.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми. В приведенном примере это выражается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.

3. Сумма объемов понятий, получающаяся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единица исчерпывают все множество натуральных чисел.

4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.

В приведенном примере, проводя классификацию натуральных чисел, было бы неверным подразделить множество натуральных чисел на простые числа, числа, имеющие три различных делителя, и единицу. В этом случае произошел бы так называемый «скачок в классификации», так как прежде следовало бы выделить составные числа, а лишь потом подразделить составные числа на числа, имеющие три различных делителя, четыре различных делителя и т.д.

В самом деле, на первом этапе классификации некоторого понятия выделяется некоторое свойство - признак Pi (x). В результате исследования некоторого множества объектов А мы выделяем из этого множества два подмножества А1 и А2:

Тем самым мы получили разбиение множества А на два класса, удовлетворяющих вышеприведенным условиям классификации.

Желая продолжить процесс классификации данного понятия, мы выделяем новое свойство Р2 (х) и получаем разбиение множества Ai на два подмножества В) и В2 и т.д.

В результате последовательно проведенных разбиений множества объектов, составляющих объем некоторого понятия, и возникает определенная классификация данного понятия. Так, например, одна из возможных классификационных схем понятия «выпуклый многоугольник» будет выглядеть так (рис.3).

Заметим, что в современном школьном курсе геометрии принята классификация четырехугольников, отличающаяся от данной.

В процессе определения и классификации понятий данной науки образуется система понятий этой науки.