Елементи багатомірної геометрії

дипломная работа

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля

У векторній аксіоматиці поняття вектора є одним з основних (необхідних) понять. Поняття числа теж будемо вважати основним поняттям і виходити з того, що теорія дійсного числа відома. Властивості операцій додавання векторів і множення вектора на дійсні числа приймемо за аксіоми. Тоді можна дати аксіоматичне визначення векторного простору.

Нехай V - деяка непуста множина, елементи якого будемо називати векторами, і які можуть бути довільної природи, R - множина дійсних чисел. Уведемо для векторів операції додавання векторів і множення вектора на дійсні числа з R будь-яким двом векторам a і b поставлений у відповідність певний вектор, називана сумою й позначуваний a+b;б) будь-якому вектору a і будь-якому дійсному числу б поставлений у відповідність певний вектор, називана добутком вектора на число й позначуваний через ба. И нехай при цьому виконуються наступні властивості аксіоми:1. a+b=b+a для будь-яких векторів a і b з V ;2. (a+b)+з=a+(b+c), для будь-яких векторів a, b, c V.3. Існує такий вектор О V, що а+О=а;4. Для будь-якого вектора а V існує такий вектор - a V , що а+(- а)=O;5. для будь-яких чисел і V;6. для будь-якого числа R і будь-яких векторів a і b з V;7.1? а = а для будь-якого вектора а V.

Тоді множина V називається дійсним лінійним векторним простором або векторним простором. Уведене визначення не накладає ніяких обмежень на природу елементів множини V, тому можуть існувати різні векторні простори.

Приклади: Векторний простір V1 - множина векторів на прямій; Векторний простір V2 - множина векторів на площині; Векторний простір V3 - множина векторів простору трьох вимірів; Множина різних багаточленів від один змінної також становить векторний простір. «Векторами» є багаточлени. Використовуючи твердження, що у звичайному просторі трьох вимірів існує три лінійно незалежних вектори, тобто виконується рівність:

, коли ;

Будь-яка система, що складається більш, ніж з 3-х векторів цього простору, лінійно залежна.

Продовжуючи будувати аксіоматичну теорію векторних просторів, уведемо наступне визначення.

Визначення: Векторний простір V називається n-мірним, якщо в ньому виконуються аксіоми:

9. У векторному просторі V існують n лінійно незалежних векторів.

10. Будь-яка система, що складається більш, ніж з n векторів простору V, лінійно залежна.

Число n називається розмірністю векторного простору й позначається символом dim V , а сам простір будемо позначати символом Vn. Базисом n-мірного векторного простору Vn називається будь-яка впорядкована система векторів, таких, що система лінійно незалежна; будь-який вектор простору Vn є лінійною комбінацією даної системи векторів. Базис не може мати більше трьох векторів і менш чим три вектори. Очевидно, що базис простору V3 будемо називати 3-мірним і позначати В = (е1, е2, е3), де вектори е1, е2, е3 називаються базисними. З аксіом 9 і 10 треба, що в n-мірному векторному просторі Vn існує хоча б один базис, що складається з n векторів. Можна довести, що в Vn існує незліченна множина базисів і кожної з них складається з n векторів.N-Мірний базис будемо позначати В = (е1, е2,…,еn), а вектори е1, е2,…,еn називати базисними. Наслідок: Будь-яка система, що складається більш ніж із трьох векторів звичайного простору трьох вимірів, лінійно залежна.

Делись добром ;)