Елементи багатомірної геометрії

дипломная работа

§3. Евклідовий векторний простір

Ладу аксіоматичну теорію аналітичної геометрії на векторній основі, уведемо наступне визначення.

Визначення

1: Скалярним добутком на векторному просторі V називається операція, що будь-якій парі векторів a і b ставить у відповідність деяке дійсне число, позначаємо символом a b і з наступними властивостями:

11. Для будь-яких векторів a, b V і будь-якого вектора a b= b а;

12. Для будь-яких двох векторів a, b V і будь-якого числа .

13. Для будь-яких трьох векторів a, b, c V ;

14. Для будь-якого ненульового вектора а V aa>0.

Визначення 2: Векторний простір Vn, у якому уведена операція скалярного добутку векторів, що задовольняє аксіомам 11-14, називається евклідовим векторним простором. Будемо позначати його символом Еn.

На основі визначення 1 можна ввести поняття довжини вектора й величини кута між векторами.

Число аа називається скалярним квадратом вектора а й позначається а2. З аксіоми 14 треба, що а2>0, отже, - дійсне позитивне число. Воно називається довжиною або нормою вектора й позначається: . Якщо 1, то вектор а називається одиничним.

На основі аксіом 11-14 можна вказати наступні твердження: Для будь-яких векторів a, b1, b2,…,bn виконується рівність

.

,

де а - довільний вектор;

Якщо

, те,

а якщо

, то ;

Якщо

, те

Можна показати, що якщо , те вектор є одиничним, його називають ортом вектора а. Він визначає той же напрямок, що й вектор а.

При рішенні метричних задач, тобто задач, повязаних з виміром довжин векторів і величин кутів, користуються ортонормированим базисом.

Визначення: Базис називається ортонормированним, якщо всі його вектори одиничні й попарно ортогональні, тобто якщо

й ( ) при .

Теорема. В евклідовому просторі Еn існують базиси.

Дійсно, якщо (а1, а2,…,аn) - ортогональний базис, то можна розглянути вектори

, ,…,...

Ясно, що базис (е1, е2,…,еn) ортонормированний, тому що його вектори одиничні й попарно ортогональні.

Уведемо позначення: В=(i, j) або B=(i, j, k) - ортонормированні базиси евклідових векторних просторів Е2 і Е3 відповідно.

Делись добром ;)