Елементи багатомірної геометрії

дипломная работа

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

Визначення k-площини

Нехай в n-мірному афінному просторі Un зафіксовані довільна крапка А, і у відповідному лінійному просторі Ln зафіксований довільне k-мірний підпростір Lk.

Визначення. Множина всіх крапок М афінного простору, для яких АМ Lk, називають k-мірною площиною, що проходить через крапку А в напрямку підпростором Lk.

Говорять також, що Lk є напрямний підпростір цієї площини. Очевидно, що кожна площина визначає однозначно свій напрямний простір.

Крапку М називають поточною крапкою площини. На малюнку показані три положення М1, М2, М3 поточні крапки М.

Мал. 11, де k = 2

Окремі випадки k-площин

Якщо k = 0, то площина складається з однієї крапки А. Тому кожну крапку афінного простору можна розглядати як нуль-мірну площину.

Одномірна площина називається прямою лінією.

Площина розмірності n - 1 називається гіперплощиною.

При k = n площина збігається з усім простором Un.

У визначенні площини виділена крапка А. Доведемо, що в дійсності всі крапки площини рівноправні.

Позначимо площину через Пk і зафіксуємо довільну крапку В. Треба довести, що крапка М належить площини Пk тоді й тільки тоді, коли (тобто що будь-яка крапка М може відігравати роль А).

Нехай . По визначенню площини . Звідси й по визначенню підпростору

,

тому . Обернено, якщо , те отже,

.

Мал. 12

Теорема. Усяка k-мірна площина в афінному просторі сама є k-мірним афінним простором.

Доказ. Нехай дане афінний простір U, якому відповідає лінійний простір L, нехай Пk - площина, що проходить через крапку А в напрямку підпростору Lk. Візьмемо в площині Пk дві довільні крапки M, N . По визначенню афінного простору їм відповідає вектор . По визначенню площини вектори АМ і АN належать підпростору Lk.

Отже,

Таким чином, кожній упорядкованій парі крапок М, N площини Пk, поставимо у відповідність вектор MN з k-мірного простору Lk. При цьому дотримуються для Пk аксіоми, що випливають із визначення k-мірної площини й для всього афінного простору U. Теорема доведена.

Зауваження. Якщо площина проходить через початок афінної системи координат у напрямку підпростору Lk, то сукупність радіус-векторів її крапок утворить підпростір, по визначенню співпадаюче з підпростором Lk.

Нехай в афінному просторі U дані крапки А0, А1,…,Аk (у числі k + 1). Ці крапки перебувають у загальному положенні, якщо вони не належать ні однієї (k -1)-мірної площини .

Перевіримо, що крапки А0, А1,…,Аk перебувають у загальному положенні тоді й тільки тоді, коли вектори А0А1,…,А0Аk лінійно незалежні (мал. 13), причому байдуже, яку із крапок брати в якості А0 (тобто за початок векторів, що йдуть із її в інші крапки).

Мал. 13

Зі сказаного в цьому пункті й з визначення площини треба, що через систему крапок А0, А1,…,Аk, що перебувають у загальному положенні, проходить k-мірна площина й притім тільки одна.

Припустимо, що в просторі Un зафіксована яка-небудь афінна система координат з початком О и базисом е1, е2, …, еn. Розглянемо площину Пk, що проходить через крапку А в напрямку підпростору Lk.

Будемо вважати, що крапка А має координати р1, р2, …, рn і що Lk задається як незалежна система векторів q1, q2, …, qk... Тоді радіус-вектор ОМ поточної крапки площини можна записати у вигляді

(6.1)

де параметри ф1, ф2, …, фk незалежно друг від друга пробігають усілякі числові значення, а вектор

(мал. 14)

Мал. 14

Розкладемо вектор q1, q2, …, qk по базисі е1, е2, …, еn:

Координати поточної крапки М позначимо, як звичайно, через (x1, x2, …, xn) і запишемо векторну рівність у координатах. У результаті одержимо n числових рівностей.

(6.2)

Ці рівності називаються параметричними рівняннями площини Пk.

Приклад. Простір, досліджуваний у стереометрії, є тривимірним афінним простором. У ньому одномірні й двовимірні площини збігаються відповідно із прямими лініями й площинами, що розуміються в елементарно-геометричному змісті. На відміну від простору, досліджуваного в елементарній геометрії, в афінному просторі не визначені метричні поняття: відстані між крапками й довжини ліній, площі й обєми фігур, кути й перпендикулярність. При дослідженні фігур в афінному просторі вивчаються лише ті геометричні властивості, які не залежать від метричних понять.

2. Рівняння k-площини по k+1 крапкам

Якщо задані k+1 крапок А00), А11), …, Аnn) і вектори А0Аа = ха - х0 незалежні, те ці крапки визначають єдину k - площина, що проходить через них: у цьому випадку за напрямні вектори цієї площини можна прийняти вектори А0Аа й векторне рівняння k-площини можна записати у вигляді

(6.3)

Будемо називати k-площину, обумовлену крапками А00), А11), …, Аnn), k-площиною А0, А1, …, Аk.

Випадок k = n-1

Надалі будемо часто мати справа з k-поверхнями й k-площинами при k = n - 1. Говорячи, «поверхня n-простору» і «площина n-простору», але мати на увазі (n - 1)-поверхня й (n - 1)-площина цього простору. Часто поверхня й площина називається відповідно гіперповерхнею й гіперплощиною.

Поверхня можна задати одним координатним рівнянням

(6.4)

якщо координати xi, що задовольняють цьому рівнянню, можна представити як функції n - 1 параметрів t1, t2, …, tn-1, те одержимо

F(x) = 0. (6.5)

3. Взаємне розташування площин

3.1 Пересічні площини

У всім цьому пункті розмірності площин і підпросторів позначені індексами знизу. Нехай дві площини Пk і Пl перетинаються, то їхнім перетинанням є деяка площина Пm.

k = l = 2, m = 1

Мал. 15

Зауваження 1. Не виключена можливість, що Пm складається з однієї крапки (m = 0). Це видно на прикладі двох пересічних прямих або прямій і площині (мал. 16).

Мал. 16

У загальному випадку по одній крапці можуть перетинатися дві площини, сума різниць яких не перевищує розмірності простору, наприклад, двовимірні площини в чотирьохмірному просторі.

Зауваження 2. Не виключене й інше, коли одна із двох площин цілком належить інший. Наприклад, , тоді (мал. 17)

k = m = 1, l = 2

Мал. 17

2) Якщо площини Пk і Пl перетинаються по площині Пm, те існує єдина площина Пr, розмірності r = k + l - m, що містить Пk і Пl, причому ні в якій площині меншої розмірності Пk і Пl не можуть одночасно поміститися. Напрямний підпростір Lr площини Пr є сумою напрямних підпросторів Lk і Ll. Ця сума є прямою сумою тоді й тільки тоді, коли Пk і Пl перетинаються по одній крапці (m = 0, див. мал. 18).

Мал. 18

В окремому випадку, коли n = k + l - m, роль площини Пr виконує весь простір Un (при r = n = 3 див. мал. 15).

3) Якщо пересічні площини Пk і Пl утримуються в якій-небудь площині Пr, те розмірність їхнього перетинання . Зокрема, для будь-яких двох непересічних площин з Un.

4) Якщо площини Пk і Пl проходять через крапку А в напрямку підпросторів Lk і Ll відповідно і якщо Lk утримується в Ll, те площина Пk утримується в площині Пl. Якщо при цьому k = l, то Пk збігається з Пl (також і Lk збігається з Ll).

Паралельні площини

Нехай тепер площина Пk визначається крапкою А и підпростором Lk, а площина Пl - крапкою В и підпростором Ll. Будемо вважати, що .

Визначення: Площина Пk паралельна площини Пl, якщо .

У цьому випадку площина Пl паралельна площини Пk.

Зауваження 1. Відповідно до цього визначення включення є часткою случаємо паралельності.

Зауваження 2. Якщо Пk паралельна Пl, причому k = l, то Lk збігається з Ll.

Зауваження 3. Переконаємося, що при n = 3 частки випадки k = l = 1,

k = l = 2 і k =1, l = 2 погодяться з поняттям паралельності прямих і площин, відомим з елементарної геометрії (мал. 19)

Нехай у довільної афінної системі координат дві площини П и Пl однакової розмірності задані системами лінійних рівнянь. Користуючись визначенням паралельності, неважко встановити наступне твердження.

Мал. 19. а) б) в)

Твердження. Для того, щоб П и П були паралельними, необхідно й досить, щоб відповідні однорідні системи рівнянь були еквівалентні.

Зокрема, дві гіперплощини паралельні тоді й тільки тоді, коли в тих самих координатах вони задаються рівняннями

і (6.6)

(6.7)

с пропорційними коефіцієнтами при змінних:

.

Теорема 1. Нехай в афінному просторі Un дані площина Пk і крапка В. Тоді існує єдина площина розмірності k, що проходить через крапку В паралельно Пk. Якщо , то збігається з Пk; якщо крапка В розташована поза Пk, те площини Пk і не перетинаються.

Перехресні площини

Визначення. Дві площини називаються перехресними, якщо вони не перетинаються й не паралельні.

Відомо, що в тривимірному просторі U3 дві прямі лінії, тобто одномірні площини, можуть схрещуватися, тоді як пряма лінія й двовимірна площина в U3 схрещуватися не можуть. З підвищенням розмірності простору воно стає більше просторим, у результаті чого зявляється можливість будувати в ньому перехресні площини різних мір, а не тільки одномірні. Нижче сформульована теорема 2, зміст якої можна розглядати як загальний прийом побудови перехресних площин. Саме, нехай в афінному просторі Un дана площина Пl (l < n). Візьмемо довільну площину Пk так, щоб Пk і Пl не були паралельні й перетиналися; площина, по якій вони перетинаються, позначимо через Пm. Нехай Пr - площина найменшої розмірності, що містить Пk і Пl. Ми знаємо, що r = k + l - m.

Теорема 2. Якщо , то всяка k-мірна площина, що паралельна Пk і не лежить у Пr, схрещується з Пl.

Наслідок. Якщо цілі числа k, l, m, n задовольняють нерівностям

, , ,

те в Un найдуться перехресні площини Пk і Пl з напрямними підпросторами Lk і Ll, перетинання яких має розмірність m.

Доказ теореми 2. Тому що

,

те площина Пr не вичерпує собою всього простору Un. Це дозволяє взяти (з більшою сваволею) крапку З, що не лежить у Пr. Позначимо через площину розмірності k, що проходить через крапку З, паралельно Пk. Ясно, що не втримується в Пr і що, вибираючи по-різному крапку З, ми можемо одержати будь-яку k-мірну площину, що задовольняє умові теореми. (Див. мал. 14, на якому k = l = 2, r = 2, n = 4, і тривимірні площини умовно зображені у вигляді паралелепіпеда).

Мал. 20

Доведемо, що площини Пl і схрещуються. Помітимо, що площина не паралельна Пl, тому що в противному випадку або , або , що суперечить умові розташування площин Пk і Пl.

Тепер доведемо, що й Пl не перетинаються. Проведемо через крапку З допоміжну r-мірну площину , паралельну Пr. Тоді й тому Пk не може перетнути Пl тому що в противному випадку крапка їхнього перетинання належала б паралельним площинам Пr і . Отже, схрещується з Пl. Теорема 2 доведена.

Нехай в n-мірному афінному просторі Un дані перехресні площини Пk і Пl з напрямними підпросторами Lk і Ll, причому

, .

Теорема 3. Існує єдина площина Пr+1 розмірності , що містить площини Пk і Пl.

Доказ. Візьмемо довільну крапку й зафіксуємо довільну крапку ; позначимо через лінійну оболонку вектора (мал. 16). Допустимо, що існує якась площина , що містить Пk і Пl; нехай - її напрямний підпростір. Очевидно, що повинне містити Lk, Ll і , а отже, і суму цих підпросторів. Позначимо цю суму через Lr+1:

Обернено, якщо - будь-який підпростір, що включає Lr+1, те, що проходить через крапку А в напрямку , буде містити Пk і Пl. Справді, тому що й , те ; тому що , те, тому що

й , те .

Мал. 21

Одержимо серед всіх площин шукану площину Пr+1 мінімальної розмірності r + 1 у тім єдиному випадку, коли в якості береться Lr+1. Підрахуємо r + 1. Із цією метою розглянемо

й позначимо розмірність через р. По теоремі 3 (в n-мірному просторі L є підпростори Lk і Ll, розмірності яких відповідно рівні k і l. Якщо їхнє перетинання має розмірність m, то розмірність їхньої суми Lk + Ll дорівнює r = k + l - m) маємо р = k + l - m.

Покажемо, що

є пряма сума, тому розмірність Lr+1 дорівнює р + 1, тобто

(r + 1) = (k + l - m) +1

Для цього досить показати, що вектор не належить простору . Припустимо противне. Нехай . Тоді по визначенню суми підпросторів існують вектори х и в такі, що

, , . (v)

По першій аксіомі афінного простору найдеться крапка З така, що , причому . По другій аксіомі афінного простору

. (vv)

З огляду на (v), (vv), знаходимо, що , так що . Виходить, що площини Пk і Пl мають загальну крапку З, але це неможливо, оскільки площини Пk і Пl схрещуються. Теорема 3 доведена.

Зауваження. Малюнок 20 лише частково ілюструє теорему 3. Наприклад, якщо розмірності Пk і Пl більше m і різні між собою,

, те, як,

Проведені вище міркування показують, що площини Пk і Пl, про які мова йде в теоремі 3, не втримуються ні в якій площині меншої розмірності, чим r + 1.

Зберігаючи позначення попереднього підпункту, сформулюємо достатню умову перетинання двох площин.

Теорема 4. Якщо в Un дані площини Пk і Пl, такі, що

,

де m - розмірність перетинання Lm напрямних підпросторів Lk і Ll, то Пk і Пl перетинаються.

Доказ. Крім тривіального випадку, коли яка-небудь із даних площин збігається з усім простором, має

У розташуванні двох даних площин можуть бути лише три можливості:

або Пk паралельна Пl;

або площини Пk і Пl схрещуються;

або вони перетинаються.

Якщо Пk паралельна Пl, то для розмірності m перетинання відповідних їм просторів Lk і Ll маємо m = min (k, l). Теорема доведена.

2. Розмірність різноманіття k-площин

Знайдемо розмірність Рn,k, різноманіття всіх k-площин n-простору.

Насамперед помітимо, що число параметрів, від яких залежать k+1 крапок M0, M1, …, Mk n - простору з лінійно незалежними векторами , через які проходить єдина k-площина, дорівнює числу координат, цих крапок, тобто (k +1)n. Далі помітимо, що число параметрів, від яких залежать ті ж крапки на k-площині, дорівнює числу параметрів цих крапок, тобто (k +1)k.

Тому що в n-просторі, число параметрів, від яких залежать крапки дорівнює сумі числа Рn,k і числа параметрів, від яких залежать крапки на k-площині, то одержимо, що

, тобто

. (6.7)

Делись добром ;)