Задача о траекториях

курсовая работа

Глава 1. Постановка задачи

Многие вопросы физики, химии, экономики, техники, математики и других областей знания сводятся к следующей задаче: найти функцию f, имея некоторое уравнение, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Если искомая функция зависит лишь от одного аргумента, уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением. В противном случае его называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Если обозначить независимое переменное, производная по которому от искомой функции входит в состав обыкновенного дифференциального уравнения, через t, а эту искомую скалярную функцию через x(t), то можно записать обыкновенное дифференциальное уравнение в виде

F(t, x,, …, ) = 0 (1)

Порядок nЄN старшей производной в (1) называют порядком дифференциального уравнения.

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (1) в некотором промежутке TЄR называют n раз непрерывно дифференцируемую в этом промежутке функцию x(t), удовлетворяющую при любом tЄT этому уравнению.

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств для математического решения практических задач.

Актуальность данной темы состоит в том, что отыскание ортогональных траекторий бывает нужно в задачах картографии, навигации и т. д. Изогональные траектории меридианов на сфере называют локсодромиями. Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или эллипсоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение - меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по "магнитным локсодромам", то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов.

С задачей на отыскание ортогональных траекторий мы встречаемся в механике, когда требуется найти силовые линии поля.

Таким образом, во многих задачах теоретической механики, геометрической оптики, картографии и других областей науки возникает необходимость в нахождении кривых по тем или иным свойствам проведенных к ним касательных. Поскольку угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции в точке касания, такие задачи решаются обычно с помощью дифференциальных уравнений.

При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Сделать чертеж и ввести обозначения.

2) Отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках, т.е. начальных условий.

3) Выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной.

4) По условию задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая.

5) Найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка графически изображается семейством интегральных кривых, зависящих от одного параметра С, - каждому значению этого параметра соответствует определенное частное решение, т.е. определенная интегральная кривая.

Целью данной курсовой работы является изучение важного геометрического приложения дифференциальных уравнений первого порядка - задачи о траекториях в случае декартовых координат.

Содержание курсовой работы состоит из введения и двух параграфов. В первом параграфе дается общее понятие о траекториях, рассматриваются задачи о траекториях на плоскости в случае декартовых координат при изогональных и ортогональных траекториях. Во втором параграфе показаны некоторые примеры решения задач о траекториях.

Делись добром ;)