Задача Стефана о фазовом переходе

курсовая работа

2.3 Метод сглаживания коэффициентов

Этот метод является наиболее универсальным, пригодным для численного решения задач типа Стефана с любым числом пространственных переменных и любым числом фазовых фронтов. Он позволяет применять разностные схемы сквозного счета, которые характеризуются тем, что граница раздела фаз явно не выделяется и используются однородные разностные схемы.

Пусть G есть p-мерная область пространства с границей Г, обозначим через цилиндр с основанием G: ={G [0,t*]}. Боковую поверхность этого цилиндра обозначим через S= {Г [0,t*]}.

Требуется найти функции Т, Ф из следующих условий:

(1.53)

(1.54)

(1.55)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

Введем новую функцию - удельное теплосодержание

где ?(х) - дельта-функция Дирака.

Подставив ее в уравнение энергии

получим

(1.59)

Покажем, что уравнение (1.59) включает уравнения (1.53), (1.54) и условие (1.56) на фазовой поверхности. Первая часть утверждения следует немедленно, если учесть свойство ? - функции ?(x)=0 при х?0. Для доказательства второй части рассмотрим точку Р на поверхности фазового перехода Ф=0 (см.рис.1.1)

Рис

Проведем нормаль к поверхности и касательную в этой точке и построим цилиндр достаточно малого объема с осью совпадающей с нормалью, симметричной относительно касательной и образующей, параллельной к нормали. Пусть - боковая поверхность, - нижнее, - верхнее основание цилиндра; их площадь обозначим соответственно ||, ||=||=|?2|. Проинтегрируем уравнение (1.59) по объему цилиндра и устремим ||>0, а затем и ||>0. Тогда интеграл от С??Т??t в пределе обратится в нуль. Объемные интегралы

где

преобразуем в поверхностные по поперечному сечению цилиндра. Предположим, что для функции Ф(Т)=0 выполнено условие существования обратной функции dФ/dТ>0. Тогда ?(T-)=?(Ф) и ??(Ф)?t=?(Ф)(?Ф??t). Элемент объема dV=d?dn, где d? - элемент площади плоских участков, параллельных. Так как gradФ направлен по нормали к поверхности Ф(Т)=0, то интегрирование по нормали можно заменить интегрированием по Ф; при этом, принимая во внимание следующие соотношения

при ||>0, получим

где - среднее поперечное сечение цилиндра.

Для преобразования воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса

при ||>0, интеграл по обратится в нуль, а интегралы по ||,|| перейдут в интеграл по

Подставим сюда выражение

и заменим единичный вектор нормали из равенства

Тогда для получим следующее выражение:

Вычислив значение подынтегрального выражения в точке Р, окончательно имеем

Из уравнения (1.59) следует=, т.е. получаем условие (1.56).

Таким образом, решение задачи типа Стефана (1.53)-(1.58) сводится к решению уравнения (1.59) с дополнительными условиями (1.55), (1.57), (1.58). Левая часть уравнения (1.59) содержит сосредоточенную теплоемкость L??(Т-) на поверхности фазового перехода Т=, т.е. она обращается в нуль при Т?. Теплофизический смысл этого члена заключается в том, что теплота фазового перехода L? выделяется на фазовом фронте. Если построить для этого уравнения разностное уравнение, то коэффициент левой части уравнения (1.59) будет вычисляться в узлах сетки, а меняющийся фронт фазового перехода не всегда совпадает узлом сетки. Отсюда следует, что разностная схема не всегда будет учитывать теплоту фазового перехода, т.е. она не будет обладать свойством консервативности, Возникновение такой ситуации приводит к необходимости сглаживания коэффициентов уравнения (1.59). Для этого дельта-функция приближенно заменяется дельтообразной, или размазанной, дельта-функцией ?(Т-,?)?0, где ? - величина полуинтервала, на котором отлична от нуля ?(Т-,?).

Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость

?)

удовлетворяющая следующим условиям:

Т<-?,

Т>+?

2. Изменение энтальпии на интервале (-?,+?) сохраняется

(+?)- (-?)=H(+?)-H(-?)

На этом же интервале (-?,+?) проводится сглаживание коэффициента теплопроводности ?.

В результате вместо задачи (1.59), (1.55), (1.57), (1.58) получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами

(1.60)

(1.61)

(1.62)

На практике сглаженную теплоемкость выбирают по разному.

Рассмотрим некоторые часто применяемые варианты сглаживания.

Пусть коэффициенты не зависят от Т.

1. Сглаженная теплоемкость на интервале сглаживания постоянна. Тогда из второго условия следует

2.

2?+/2

и уравнение (1.60) решается с коэффициентом

2. Сглаженная теплоемкость на интервале сглаживания есть линейная функция температуры, имеющая равные скачки на концах интервала сглаживания, т.е. строится в виде:

Подставив во второе условие, имеем

2b?=+(+)?

а равенство скачков дает

(-?)+= (+?)+

Таким образом, для этого варианта сглаживания уравнение (1.60) имеет следующий коэффициент:

Для решения задачи (1.60)-(1.62) теперь можно построить разностные схемы. Так как сглаженные коэффициенты зависят от температуры, получающаяся разностная задача будет нелинейной и ее решение будет найдено с использованием итерационного процесса.

Делись добром ;)