1.2 Понятие задачи на экстремум

Экстремум (лат. extremum -- крайний) в математике - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1 < x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) f(x0) (f(x) ? f(x0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f (x0) = 0, либо f (x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x0 - критическая точка. Если f (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f (x) в окрестности точки x0 и вторую производную в самой точке x0. Если f (x0) = 0,

f”(x0) > 0, то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f”(x0) = 0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Экстремальные задачи - задачи на максимум и минимум - во все времена привлекали внимание учёных. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики.

Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в архитектуре, экономике и т.д. Кроме того, экстремальные задачи самым неожиданным образом находят применение в науках о природе: физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». С экстремальными задачами человек начинает знакомиться в средней школе. Вот, пожалуй, самая известная из них: на плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма AM + BM наименьшая.

Для решения отразим точку B относительно прямой l, получим точку B?.

Рисунок 1

Отрезок BM переходит при симметрии в отрезок B?M, следовательно, AM + BM = AM + B?M. Согласно неравенству треугольника, сумма AM + B?M принимает наименьшее значение, когда точка M лежит на отрезке AB?. Таким образом, M - точка пересечения прямой l с отрезком AB?; для этой точки сумма AM + BM равна длине отрезка AB?, при другом выборе точки M эта сумма будет больше AB?.

С её помощью можно объяснить закон отражения света «угол падения равен углу отражения», поскольку в однородной среде свет распространяется по кратчайшему пути. Кроме того, эта простая задача лежит в основе так называемых фокальных свойств конических сечений -- эллипса, гиперболы и параболы.

Считается, что впервые задача о кратчайшем пути между двумя точками с заходом на прямую, или задача об отражении света, была решена древнегреческим математиком Героном Александрийским (I век н. э.) в трактате «О зеркалах». Поэтому её иногда называют задачей Герона. Её можно интерпретировать и как сугубо практическую: где на прямой дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарный путь до неё от деревень A и B был наименьшим?