2.3 Задача Дидоны

Столько купили земли и дали ей имя Бирса, Сколько смогли окружить бычьей шкурой.

Вергилий. Энеида

Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой -- круг.

Пифагор

Дидона - древняя финикийская, дочь тирского царя, бежала из дома, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько же земли можно окружить бычьей шкурой? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно правильно математически поставить задачу: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Основные пути решения задачи Дидоны или, как ее называют по - другому, классической изопериметрической задачей были намечены еще во времена античности. Строгое доказательное оформление этих идей было сделано математиками гораздо позже. Актершев приводит схему доказательства Я. Штейнера.

Теорема: Из всех изопериметрических замкнутых плоских кривых окружность является экстремальной.

Лемма 1: Экстремальная кривая выпукла.

Рисунок 15

Доказательство: Если кривая не выпукла, то на ней найдутся две точки А и А1 такие, что обе дуги АВА1 и АВ1А1, соединяющие точки А и А1, лежат по одну сторону от прямой АА1 (рис. 15). Заменив одну из дуг ее зеркальным отражением относительно прямой АА1, мы получим кривую той же длины, но большей площади.

Лемма 2: Если точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, то хорда АВ делит площадь фигуры пополам.

Доказательство: Если хорда АВ делит площадь на две неравные части, то большую часть можно зеркально отразить относительно прямой АВ и, взяв большую часть вместе с ее зеркальным отражением, получить новую фигуру с тем же периметром, но большей площади.

Лемма 3: Пусть точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, и точка С любая точка кривой. Тогда угол АВС - прямой.

Доказательство: Допустим, что угол АВС не является прямым. Площадь, ограниченная дугой АСВ и хордой АВ, разбита на три части: треугольник АСВ и два сегмента, прилегающие к хордам АС и СВ. Представим, что сегменты жесткие, а в точке С находится шарнир, соединяющий два сегмента. Повернем хорду СА вместе с прилегающим к ней сегментом вокруг шарнира так, чтобы угол между хордами стал прямым. Точка А перейдет в точку А1, при этом длина дуги АВС и площади сегментов не изменятся (рис. 10). Площадь треугольника ВСА1 больше, чем площадь треугольника ВСА, т. к. из всех треугольников с заданными длинами двух сторон максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник. Теперь отразим полученную фигуру относительно А1В. В результате получаем фигуру с тем же периметром, но большей площадью.

Рисунок 16