Задачи на максимум и минимум в геометрии

курсовая работа

2.4 Задача Ферма - Торричелли - Штейнера

История этой задачи насчитывает более трёх с половиной столетий. Она была помещена в книге итальянского физика и механика Вивиани «О максимальных и минимальных значениях» в 1659 году. Винченто Вивиани (1622--1703) известен как один из лучших специалистов по задачам на максимум и минимум, а также по теории конических сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того времени, снабдил длинным названием: «Пятая книга сочинений Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в себе первые исследования о наибольших и наименьших величинах и признаётся самым замечательным памятником этого великого геометра».

Среди множества задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая: на плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной

прямой. Для какой точки T плоскости сумма расстояний AT + BT + CT наименьшая?

Ещё до книги Вивиани этой задачей интересовался итальянский математик Бенавентура Кавальери (1598--1647), автор знаменитого «принципа Кавальери» для вычисления площадей и объёмов, предвосхитившего интегральное исчисление, а также математик и физик Эванджелиста Торричелли (1608--1647). Согласно другим источникам, независимо от Торричелли, эту задачу решил и величайший французский математик Пьер Ферма (1601--1665). А первое чисто геометрическое решение принадлежит, по - видимому, швейцарскому геометру Якобу Штейнеру (1796--1863).

Решение: выстроим отрезки AT, BT и CT в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T - в точку N. Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT -- равносторонний, так как AT = AN и ЃЪTAN=60?, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD.

Рисунок 17

Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T - в точку N.

Рисунок 18

Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT -- равносторонний, так как AT = AN и ЃЪTAN=60, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD. Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ЃЪBTA + ЃЪATN = 180 и, следовательно, ЃЪBTA = 120; а также ЃЪAND + ЃЪANT = 180, значит, ЃЪAND = 120, поэтому

ЃЪATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120 (рис. 18).

Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD (рис. 17). Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ЃЪBTA + ЃЪATN = 180 и, следовательно, ЃЪBTA = 120; а также ЃЪAND + ЃЪANT = 180, значит, ЃЪAND = 120, поэтому ЃЪATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120.

Точка T, из которой все стороны треугольника видны под углами 120, имеет несколько названий. Иногда её называют точкой Ферма, иногда - точкой Торричелли, иногда - точкой Штейнера. Доказательство, которое было приведено, с поворотом плоскости на 60, принадлежит Якобу Штейнеру.

А первым по времени из этих трёх математиков был Торричелли. Поэтому будем называть эту точку, по праву первенства, точкой Торричелли, центрами вписанной и описанной окружностей. Правда точка Торричелли существует не у любого треугольника. Однако уже доказано, что если у треугольника есть точка Торричелли, то она является единственной точкой минимума суммы расстояний до вершин треугольника.

Когда же точка Торричелли существует? Пусть из трёх углов треугольника угол при вершине A является наибольшим. Построим на сторонах AC и AB вовнутрь треугольника ABC дуги окружностей, содержащие по 120. Эти дуги пересекаются в точке A. Если же угол A меньше 120, то эти дуги имеют ещё и вторую точку пересечения, которую обозначим через T. Это и есть точка Торричелли. В самом деле, так как углы ATC и ATB по построению равны 120, то и третий угол BTC также получается равен 360 ? 120*2 = 120. И наоборот, если точка Торричелли существует, то она строится именно таким образом, поскольку должна лежать на пересечении дуг окружностей величиной в 120, построенных на сторонах треугольника. Итак, треугольник имеет точку Торричелли тогда и только тогда, когда все его углы меньше 120.

Теорема Торричелли--Ферма--Штейнера. Если все углы треугольника меньше 120, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120, то такой точкой является вершина этого угла.

Делись добром ;)