Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі.

Нехай є дві площини

(9)

Зясуємо, за яких умов ці площини : а) паралельні; б) перепендикулярні.

Оскільки A₁,B₁,C₁ -координати вектора , що перпендикулярний першій площині, а A₂,B₂,C₂ -координати вектора , що перпендикулярний другій площині, то площини паралельні, якщо вектори , паралельні, тобто якщо їх координати пропорціональні:

.

Ця умова разом з тим достатня для паралельності площин ,якщо вони не співпадають.

Для того, щоб площини (9) були перпендикулярні, необхідно та достатньо, щоб вказані вектори , були перпендикулярні, що для ненульових векторів еквівалентно умові:

або А₁А₂+ В₁В₂+ С₁С₂=0.

Приклад. Нехай задано дві площини:

Треба зясувати їх взаємне розташування. В даному випадку маємо:

площини не паралельні.

1*2-1*1-2*1=-1 площини не перпендикулярні.

Таким чином, площини розташовані під деяким углом, відмінним від ноля та девяноста градусів.

Нехай є площина та пряма, задані рівняннями:

Оскільки вектор перпендикулярний площині, а вектор паралельний прямій, то пряма та площина паралельні, якщо ці вектори перпендикулярні, тобто якщо

(10)

Якщо при цьому точка ( x₀, y₀,z₀), що належить прямій, задовольняє рівнянню площини

то пряма розташована у площині.

Пряма та площина перпендикулярні, якщо вектори та паралельні, тобто якщо

(11)

Нехай дві прямі задані рівняннями в канонічній формі:

(12)

(13)

Оскільки вектор паралельний першій прямій, а вектор паралельний другій прямій, то прямі паралельні якщо

Зокрема, прямі співпадають, якщо при цьому точка першої прямої, наприклад (x₀,y₀,z₀) задовольняє рівнянню другої прямої, тобто якщо

.

Прямі перпендикулярні ,якщо вектори та перпендикулярні, тобто якщо

Приклад. Нехай задано площину та пряму:

Треба зясувати їх взаємне розташування.

Розвязання. Маємо:

площина та пряма не паралельні;

площина та пряма не перпендикулярні.

Таким чином, площина та пряма розташовані у просторі під деяким кутом, відмінним від ноля та девяноста градусів.

Дведення координатним методом теореми про три перпендикуляри.

Теорема про три перпендикуляри: якщо пряма, проведена на площині через основу нахилої, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна нахилій. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна наклонній, то вона перпендикулярна і проекції нахилій.

Доведення. Нехай АВ- перпендикуляр до площини , АС -нахила та с- пряма в площині , що проходить через основу С нахилої (малюнок 3). Проведемо пряму , паралельну прямій АВ. Вона перпендикулярна площині . Проведемо через прямі АВ та площину . Пряма с перепендикулярна прямій . Якщо вона перпендикулярна прямій СВ, то вона перпендикулярна площині , тобто, і прямій АС.

Аналогічно, якщо пряма с перпендикулярна похилій СА то вона, будучи перпендикулярною і прямій , перпендикулярна площині , а значить, і проекції похилій ВС. Теорему доведено.

Того ж самого результату можна досягти, якщо скористатись координатним методом, попередньо задавши відповідні прямі їх напрямними векторами та послідовно використовуючи ознаки паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.

Малюнок 2- Доведення теореми про три перпендикуляри.

Доведення методом координат ознаки паралельності двох площин.

Нехай завдані площини своїми рівняннями:

(14)

(15)

Оскільки координати загальної точки площин є розвязанням системи рівнянь (14),(15) та кожне розвязання системи рівнянь (14),(15) є координатами загальної точки площин , то питання про взаємне розташування двох площин зводиться до дослідження системи лінійних рівнянь (14),(15).

Позначимо через r та відповідно ранги матриць:

Якщо =2, r=1, то система рівнянь (14),(15) несумісна, тому площини не мають загальних точок, тобто паралельні.