Оцінка похибки методу Монте-Карло

Нехай для отримання оцінки a^* математичного сподівання а випадкової величини Х було проведено n незалежних випробовувань (розіграно n можливих значень Х) і по них була знайдена вибіркова середня , яка прийнята в якості шуканої оцінки: . Звичайно, якщо повторити ще раз процедуру випробовування, то будуть отримані інші можливі значення Х, звідси і друга середня, а отже, і друга оцінка a^*. Вже звідси випливає, що отримати точну оцінку математичного очікування неможливо. Звичайно, виникає запитання про розмір допустимої похибки. Обмежимось відшуканням лише верхньої границі допустимої похибки з заданою імовірністю (вірністю) :

.

Верхня границя похибки , яка нас цікавить, є не що інше, як «точність оцінки» математичного очікування по вибірковій середній за допомогою довірчих інтервалів. Розглянемо наступні три випадки.

Випадкова величина Х розподілена нормально і її середнє квадратичне відхилення відоме.

В цьому випадку з імовірністю верхня границя похибки

, (*)

де n - число випробувань (розіграних значень Х); t - значення аргументу функції Лапласа, при якому , - відоме середнє квадратичне відхилення Х.

Випадкова величина Х розподілена нормально, причому її середнє квадратичне відхилення невідоме.

В цьому випадку з імовірністю верхня границя похибки

, (**)

де n - число випробувань; s - «виправлене» середнє квадратичне відхилення, знаходять по таблиці.

Випадкова величина Х розподілена по закону, який відрізняється від нормального. В цьому випадку при достатньо великому числі випробовувань (n>30) з вірністю, приблизно рівній , верхня границя похибки може бути обчислена по формулі (*), якщо середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х відоме; якщо ж невідоме, то можна підставити у формулу (*) його оцінку s - «виправлене» середнє квадратичне відхилення або скористатися формулою (**). Відзначимо, що чим більше n, тим менше розходження між результатами, що дають обидві формули. Це пояснюється тим, що при розподіл Стьюдента прямує до нормального.

З викладеного вище матеріалу випливає, що метод Монте-Карло тісно повязаний із задачами теорії ймовірностей, математичної статистики й обчислювальної математики. У звязку з задачею моделювання випадкових величин (особливо рівномірно розподілених) істотну роль відіграють також методи теорії чисел.

Серед інших обчислювальних методів, метод Монте-Карло виділяється своєю простотою і загальністю. Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак, можуть бути зазначені його модифікації, які забезпечують високий порядок збіжності при певних припущеннях. Правда, процедура обчислення при цьому ускладнюється і наближається по своїй складності до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло є збіжністю по імовірності. Цю обставину навряд чи варто відносити до числа його недоліків, тому що імовірні методи в достатній мірі виправдовують себе в практичних застосуваннях. Що ж стосується задач, що мають імовірний опис, то збіжність по імовірності є навіть якоюсь мірою природною при їхньому дослідженні.