4. РОЗВИНЕННЯ ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЙ ТЕЙЛОРА

Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути звязане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 - 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4-10 члени розкладання в ряд.

Знайдемо розклад за формулою Тейлора при х0=0 (точніше за формулою Маклорена) функцій ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)a [посилання 5].

4.1 Розвинення функції f(x) = ex

Функція f(x) = eх, що нескінченно диференційована на R. Знайдемо послідовні похідні від функції f(x) = eх :

f(x) = eх, f(0)=1,

f? ?(x) = eх f? ?(0) =1,

…………. ……………

f (n)(x) = eх f (n)(0) =1,

f (n+1)(x) = eх f (n+1)(?x) =e?x,

Підставляючи одержані значення f(0), f? ?(0),…, f (n)(0), f (n+1)(?x)у формулу Тейлора-Маклорена із залишковим членом у Лагранжовій формі, дістаємо

ex=1+x+

Rn(x)=

де 0<?<1.

Зауважимо, що для будь-якого х:

.

4.2 Розвинення функції f(x) = sin x.

Функція f(x) = sin x нескінченно диференційована на R. Знайдемо послідовні похідні від f(x) = sin x:

а потім цикл знову повторяється. Тому при підстановці х0 = 0 також виникає повторення:

f(x) = sin x, f(0)=0,

f? ?(x) = cos x=sin(x+ ), f? ?(0) =1,

f ? (x)= -sin x= sin(x+2), f ? (x)=0,

f ?(x)= -cos x=sin(x+3 ), f ?(x)=-1,

…………… …………

f (n)(x) = sin (x+ f (n)(0) =sin ,

f (n+1)(x) = sin(x+(n+1)), f (n+1)(?x)=sin (?x+(n+1) Отже,

У Тейлоровому многочлені для sin x рівні нулеві коефіцієнти при парних степенях х, так що многочлен степеня (2п+1) та степеня (2п) збігаються.

Підставляючи знайдені значення похідних у формулу Тейлора-Маклорена, дістаємо

sin x = x - + + + …+ (-1)2 k-1 R2k-1 (x),

R2k+1(x)=

У цьому випадку, як і в попередньому, при усіх значеннях х:

.

4.3 Розвинення функції f(x) = cos x

Оскільки (cos x)(n) = cos (x+n ), то

f(m)(0)=cos =

+

R2k+2=

4.4 Розвинення функції f(x)=ln(1+ x)

Функція f(x)=ln(1+x) означена і нескінченно диференційована в інтервалі (-1;+?). Знайдімо послідовні похідні цієї функції

f(x)=ln(1+x), f(0)=0,

f ?(x) = , f ?(0)=1,

f ?(x) = , f ?(0)= -1,

f ?(x)= f ?(0)= 2 1,

………………….. ………………

f (n)(x) = f (n)(0) =

f (n+1)(x)=, f (n+1)(x)=,

Підставляючи обчислені значення у формулі Тейлора-Маклорена, дістаємо розвинення ln(1+x)за формулою Тейлора-Маклорена із залишковим членом у Лагранжовій формі:

ln(1+x) = x,

Rn(x)=

4.5 Розвинення функції f(x)=(1+x)б

Функція f(x)=(1+x)б ,б?R, означена і нескінченно диференційована в інтервалі (-1;1). Знайдемо послідовно похідні від функції f(x)=(1+x)б.

f(x)=(1+x)б,

f ?(x)=

f ?(x)=

f ?(x)=

…………………………………

f(n)(x)=

f(n+1)(x) =,

f(0)=1,

f ?(0)=б ,

f ?(0)=б(б-1),

f ?(0)= б(б-1)(б-2),

…………………

f(n)(0)= б(б-1)…(б-n+1),

f(n+1)(?x)= б(б-1)…(б-n)(1+ ?x)б-n-1

Підставляючи знайдені значення функції та її похідні у формулу Тейлора-Маклорена, дістаємо:

(1+x)a=1+бx + x2 +…+

Rn(x)=

Якщо б=m?N, то всі члени формули Тейлора-Маклорена, починаючи з

(т+1)-го зникають, і формула Тейлора-Маклорена перетворюється на відому формулу Ньютонового бінома.