Застосування чисел Фібоначчі

курсовая работа

2.2 Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях

Числа Фібоначчі у теорії інформації.

На основі Фібоначчієвої системи числення будується код ( кодування) Фібоначчі універсальний код для натуральних чисел (1, 2, 3...), що використовує послідовності бітів. Оскільки комбінація 11 заборонена в Фібоначчієвій системі числення, її можна використовувати як маркер кінця запису. Для складання коду Фібоначчі по запису числа в Фібоначчієвій системі числення слід переписати цифри в зворотному порядку (так, що старша одиниця виявляється останнім символом) і приписати в кінці ще раз 1. Тобто, кодова послідовність має вигляд: … , де n - номер самого старшого розряду з одиницею.

Числа Фібоначчі в хімії

В цьому пункті дізнаємось про властивості деяких хімічних сполук, виявлених українським хіміком Миколою Васютинським[4,с.25-30]. Одним з фундаментальних хімічних законів є закон сталості складу хімічних сполук. Цей закон утвердився в хімічній науці після досліджень французького вченого Ж. Пруста (1754-1826). Досліджуючи хімічні сполуки, зокрема , оксиди металів, він прийшов до висновку, що хімічні сполуки мають строго постійний склад, що не залежний від умов їх утворення. Працями англійського вченого Д. Дальтона (1766-1844) в хімії утвердилось атомарне вчення. Був сформульований закон кратних відношень, за яким між атомами в сполуках встановлюються прості цілочисельні відносини. І зараз кожен школяр знає, що склад води описується формулою O, кухонної солі - NaCl, окису цинку - ZnO.

Поки вивчали порівняно прості хімічні сполуки, ставлення атомів в них зазвичай відповідало невеликим числам, наприклад, в O, , Але коло досліджуваних хімічних сполук розширюється. Зявилися формули сполук зі стехіометричними коефіцієнтами 7, 9, 15, 21 і т.д. А коли почали вивчати склад органічних сполук, про прості цілочисельних відносинах і говорити стало незручно. Своєрідним чемпіоном у стехіометрії стала ДНК бактеріофага, що задається формулою Тут вже мають місце чотиризначні величини, а не відношення «невеликих» цілих чисел.

Не будемо заглиблюватися в хімію різних утворень. Вияснимо чи виявляються в формулах сполук числа Фібоначчі, і чи підкоряється хімічна організація золотій пропорції.

Відповідь на це питання і спробував дати Васютинський. Йому вдалося виявити сполучення, засновані на числах Фібоначчі, при вивченні окислів урану і хрому. При окисленні урану склад утворюються окислів змінюється не безперервно, а стрибкоподібно від одного стійкого зєднання з цілочисельними співвідношеннями атомів до іншого. Між оксидами урану і утворюється цілий ряд проміжних сполук, склад яких описується формулами В них відношення атомів дорівнюють відношенню чисел Фібоначчі, розташованим через одне.

Кожен з описаних окислів урану може бути представлений у вигляді суми двох граничних окислів ряду і UO, взятих в різних пропорціях , наприклад: Тут коефіцієнти перед оксидами і відповідають поруч розташованим числах Фібоначчі. Ось і виходить , що склад розглянутих окислів урану повністю підпорядковується числам Фібоначчі, розташованим не випадково, а строго закономірно. Аналогічний склад мають і оксиди хрому.

Розглядаючи рівняння типу приходить на розум алгебраїчне рівняння золотої пропорції 4 -го степеня = 3x + 2 , що описує енергетичний стан бутадієну, яке має подібну структуру. А порівнюючи рівняння з алгебраїчним рівнянням золотої пропорції 5 -го степеня =5x+3, вони також мають однакову структуру.

Загальноприйнято склад хімічних сполук визначати співвідношенням атомів елементів, що входять в ці сполуки. Але можна розглядати хімічні сполуки, що складається з атомів (іонів) різних елементів і рухливих валентних електронів , які «відповідають» за утворення хімічних звязків між атомами. Так, наприклад, в оксиді на 7 атомів хрому і кисню припадає 10 валентних електронів. Якщо призвести аналогічні розрахунки для всіх оксидів ряду Фібоначчі, отримаємо наступні відносини сум атомів до сум валентних електронів: ;; ; Чисельники цих дробів повязані відношенням Фібоначчі, а знаменники являють собою числа Люка. Якщо тепер послідовно зменшимо чисельники і знаменники цих дробів на числа Фібоначчі, що відповідають кількості атомів металів у сполуках: 2, 3, 5, 8, 13, то в результаті отримаємо ряд відношень сусідніх чисел Фібоначчі ;; ; ; , ці відношення прагнуть до золотої пропорції.

Таким чином, Васютинський досить переконливо показав, що хімічні сполуки, організовані «по Фібоначчі», існують.Але, існує нескінченна кількість узагальнених чисел Фібоначчі, р-чисел Фібоначчі, які безпосередньо випливають із трикутника Паскаля . Наведемо ці числові послідовності для початкових значень

р = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

F1 ( n ) 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

F2 ( n ) 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 78119179

F3 ( n ) 1 2 3 4 5 7 10 14 19 26 36 50 69 95

F4 ( n ) 1 2 3 4 5 6 8 11 15 20 26 34 45 60

F5 ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 9 12 16 21 27 34 43

F6 ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 13 17 22 28 35

Зрозуміло, що узагальнені числа Фібоначчі дають значно більшу кількість коефіцієнтів для хімічних сполук, ніж класичні числа Фібоначчі і відкривають більш широке поле хімічних досліджень.

«Золоту спіраль» також можна помітити в творах природи. Відстані між листям (або гілками) на стовбурі рослини відносяться приблизно як числа Фібоначчі.Осередки ананаса, створюють точно таку ж спіралеподібну послідовність, тобто 34 спіралі в один бік і 55 в інший.

Рис.9

Ракушки, будиночок равлика, морські зірки, тюльпани, лусочки на ялиновій шишці та особливо ракушки молюсків сформовані за тією ж схемою, з кожним приростом ракушка добавляє собі, ще один сегмент у відповідності з масштабом Фібоначчі.

Розташування насіння у кошику соняшнику. Вони шикуються уздовж спіралей, які закручуються як зліва направо, так і справа наліво. Насіння соняшника розташовані спіралями відповідно до послідовності Фібоначчі. Суцвіття соняшника з 34 спіралями в один бік і 55 в інший.

В один бік у середнього соняшнику закручено 13 спіралей, в іншу - 21. Відношення 13: 21 ставлення Фібоначчі.У більших суцвіть соняшнику кількість відповідних спіралей більше, але відношення числа спіралей, закручуються в різних напрямках також дорівнює числу .

Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях.

Одним з перших проявів золотого перерізу в природі помітив різнобічний спостерігач, автор багатьох сміливих гіпотез німецький математик і астроном Іоганн Кеплер (1571 - 1630). З XVII ст. спостереження математичних закономірностей у ботаніки та зоології стали швидко накопичуватися [22,с.52].

У 1850 р. німецький учений А. Цейзінг відкрив так званий закон кутів, згідно з яким середня величина кутового відхилення гілки рослини дорівнює приблизно 138 . Величина середнього кутового відхилення гілки відповідає меншій з двох частин, на які ділиться повний кут при золотому перерізі.
Наведені нижче приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності [20,с.45-49]

1. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметровий раковина має спіраль довжиною 35 см. Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Справа втому, що ставлення вимірювань завитків раковини постійно й дорівнює 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслений по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

2. Рослини і тварини. Ще Гете підкреслювавтенденціюприроди до спіральності. Гвинтоподібне спіралевидне розташування на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, в шишках сосни, ананасах, кактусах тощо(рис.9). Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці явища природи. Зясувалося, що в розташуванні листків на гілці, насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а стало бути, проявляє себе закон золотого перетину. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривою життя» [22, с.81-93].

Багато математиків нехтували золотим перерізом і гармонією,бо не вірили в те, що світ - пропорційне ціле, що підкоряється закону гармонійного ділення - золотого перетину[17, с.171].

Закономірності «золотий» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Форма спірально завитий раковини привернула увагу давньогрецького математика і фізика Архімеда . Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Серце бється безперервно - від народження людини до її смерті. Його робота повинна бути оптимальною, зумовленої законами самоорганізації біологічних систем. Відхилення від оптимального режиму викликають різні захворювання. А так як золота пропорція є одним з критеріїв самоорганізації в живій природі, природно припустити, що і в роботі серця можливий прояв цього критерію.

При роботі серця виникає електричний струм, що можна вловити спеціальним приладом і отримати криву - електрокардіограму (ЕКГ) з характерними зубцями, що відображають різні цикли роботи серця. На ЕКГ людини виділяються дві ділянки різної тривалості, відповідні систолічної та діастолічної діяльності серця. В. Цвєтков встановив, що у людини і інших ссавців є оптимальна («золота») частота серцебиття, при якій тривалості систоли, діастоли і повного серцевого циклу співвідносяться між собою в пропорції 0,382:0,618:1, тобто в повній відповідності із золотою пропорцією. Так, наприклад, для людини ця частота дорівнює 63 ударам за хвилину, для собак 94, що відповідає реальній частоті серцебиття в стані спокою.
Систолічний тиск крові в аорті одно 0,382, а діастолічний - 0,618 від середнього тиску крові в аорті. Частка обсягу лівого шлуночка при ударному викиді крові по відношенню до конечнодиастолическому обсягу у десяти видів ссавців у стані спокою становить 0,37-0,4, що в середньому також відповідає золотий пропорції. Таким чином, робота серця у відношенні тимчасових циклів, зміни тиску крові та обсягів шлуночків оптимізовано за одним і тим же принципом за правилом золотої пропорції [21, с.54].

Перший приклад золотого перерізу в будові тіла людини: якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентний числа 1.618 [8, с.45].

У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двухфалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.

Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу [22, с.36-40].

Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих обєктів, що не мають ніякого звязку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.

За цим законом Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.

Рис.10. Приклади відношень

Числа Фібоначчі у космосі

Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи.З історії астрономії відомо, що І. Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях нашої сонячної системи.Рукава багатьох спіралеподібних галактик розташовані згідно з послідовністю чисел Фібоначчі.

Число Фібоначчі в архітектурі, мистецтві

Багато вчених намагається розгадати секрети піраміди в Гізі (рис.11). Ключ до геометричного секрету піраміди в Гізі, який так довго був длялюдства загадкою, насправді,в тому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Рис.11

Довжина грані піраміди дорівнює 783,3 фута (238,7 м), висота піраміди - 484,4 фута (147,6 м). Довжина грані, поділена на висоту, дає співвідношенняц=1,618. Висота 484,4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) - це числа з послідовності Фібоначчі.

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотий пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними.

Будь-який музичний твір має часову довготу і ділиться деякими «естетичними віхами» на окремі частини, які звертають на себе увагу та полегшують сприйняття цілого. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору.

Аналіз великого числа музичних творів дає висновок, що організація твору побудована так, що кардинальні частини, поділені віхами, утворюють ряди золотого перерізу. Найбільша кількість творів, які мають золотий переріз: Аренський - 95%, Бетховен - 97%, Гайдн - 97 %, Моцарт - 91%, Скрябін - 90 %, Шопен - 92 %, Шуберт - 91 %.

Делись добром ;)