1.3 Необходимый и достаточные признаки сходимости

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд расходится - это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

;

;

.

Решение.

Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

,,. Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

;

.

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели - натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели - натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n-й член ряда имеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

;

.

Решение.

Находим

.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим

.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

.

Решение.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения -го члена к n-му члену при :

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

,

т.е. ряд расходится.

2. Знакопеременный ряд