1.3 Необходимый и достаточные признаки сходимости
Необходимый признак сходимости ряда.
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .
Если , то ряд расходится - это достаточный признак расходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.
Признак сравнения рядов с положительными членами.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .
Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.
Упражнения.
Записать ряд по его заданному общему члену:
;
;
.
Решение.
Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:
,,. Сложив его члены, получим ряд
.
Поступая так же, получим ряд
.
Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд
.
Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:
;
.
Решение.
Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид .
Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели - натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели - натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n-й член ряда имеет вид . или .
Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:
;
;
.
Решение.
Находим
.
Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом
,
который сходится, так как.
Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства
т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.
Имеем
.
Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.
Находим
.
Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом
,
который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.
Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
.
Решение.
Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения -го члена к n-му члену при :
.
Следовательно, данный ряд сходится.
Имеем
Значит, данный ряд расходится.
,
т.е. ряд расходится.
2. Знакопеременный ряд
- Введение
- 1.1 Основные понятия числового ряда
- 1.2 Примеры числовых рядов
- 1.3 Необходимый и достаточные признаки сходимости
- 2.1 Понятие знакопеременного ряда
- 2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда
- 2.3 Упражнения
- 3. Действия над рядами
- 3.2 Перестановка слагаемых ряда
- 3.3 Формула Эйлера
- 3.4 Перестановка, меняющая сумму ряда
- 3.5 Перемножение рядов
- 4. Историческая справка
- Список использованных источников
- 1.3. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды