Знакопеременные ряды
3.5 Перемножение рядов
Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.
Организуем бесконечную матрицу из чисел . Пусть -- правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).
Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу .
Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:
Теорема:
Пусть положительные ряды абсолютно сходятся и имеют суммы и . Тогда их можно перемножить любым способом .
Доказательство:
Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.
Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.
Сумма элементов квадрата не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к , что и требовалось доказать.
Теорема:
Пусть ряды из абсолютно сходятся и имеют суммы и . Тогда их можно перемножить любым способом .
Доказательство:
Определим как сумму вспомогательного ряда , как сумму . Аналогично определяем и .
По определению, . Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.
При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:
Теорема (Мертенс):
Пусть ряд из -- абсолютно сходящийся, а ряд из -- условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
Доказательство:
Для удобства нумеруем слагаемые рядов и , начиная с нуля.
Пусть . Тогда сумма -- частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.
Если доказать, что , то из последнего равенства получается искомое.
Перебросив индексы в сумме, получаем:
Обозначим два слагаемых в последней сумме как и . Последовательность -- бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом . Тогда
.
Так как ряд абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при . Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт . Итого, .
.
, следовательно, сумма стремится к нулю.