Знакопеременные ряды

курсовая работа

3.5 Перемножение рядов

Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.

Организуем бесконечную матрицу из чисел . Пусть -- правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).

Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу .

Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:

Теорема:

Пусть положительные ряды абсолютно сходятся и имеют суммы и . Тогда их можно перемножить любым способом .

Доказательство:

Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.

Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.

Сумма элементов квадрата не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к , что и требовалось доказать.

Теорема:

Пусть ряды из абсолютно сходятся и имеют суммы и . Тогда их можно перемножить любым способом .

Доказательство:

Определим как сумму вспомогательного ряда , как сумму . Аналогично определяем и .

По определению, . Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.

При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:

Теорема (Мертенс):

Пусть ряд из -- абсолютно сходящийся, а ряд из -- условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.

Доказательство:

Для удобства нумеруем слагаемые рядов и , начиная с нуля.

Пусть . Тогда сумма -- частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.

Если доказать, что , то из последнего равенства получается искомое.

Перебросив индексы в сумме, получаем:

Обозначим два слагаемых в последней сумме как и . Последовательность -- бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом . Тогда

.

Так как ряд абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при . Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт . Итого, .

.

, следовательно, сумма стремится к нулю.

Делись добром ;)