Знаходження оберненої матриці за формулою

курсовая работа

Загальні поняття про матриці

Поняття матриці, є одним із найважливіших понять не лише в алгебрі, а й в усій сучасній математиці. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон , Д. Келі і Дж.Сільвестра в середині XIX ст.Основи теорії матриць створені К.Веєрштрасом і Г.Фробеніусом в другій половині XIX ст. і поч. XX ст.

Основні означення

Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

називається матрицею.

Коротко матрицю позначають так:

А=( аij ) або Аmxn

де aij -- елементи матриці, причому індекс i в елементі aij означає номер рядка, j-- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Рядок чисел аі1 аі2…аin називають і-им рядком, а стовпець чисел

а1 j

a2 j

am j -- j-им стовпцем матриці Аm?n.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m?n. Якщо хочуть вказати розмір m?n матриці А, то пишуть Аm?n. Матриці позначають прописними літерами латинського алфавіту А, В, С і т.д.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,-- матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.

В квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

Будь-якій квадратній матриці

A =

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви-значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

а11, а12, ... а1n

det A = = а21, а22, ... а2n

...................

аm1m2, ... аmn

або .

Алгебраїчним доповненням елемента називається число, рівне .

Доповнюючим мінором елемента матриці називається визначник матриці n-1-го порядку, отриманий з матриці викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.

Дії над матрицями

Сумою матриць Аm?n=(aij) та Вm?n=(bij) однакової розмірності називають таку матрицю Сm?n=(сij) тієї ж розмірності, що сij= aij+bi j для всіх і=1,…,m та j=1,…,n. Дія утворення суми матриць називається їх додаванням. Вона є комутативною (А, В [A+B=B+A] ) і асоціативною (A,B,C [(A+B)+C]= [А+(В+С)] ).

Нулем є матриця О=(0) (всі елементи цієї матриці є нулями), причому (А [А+О=О+А] ). А існує така матриця ,що А+=+А=О . (Якщо А=(aij), то =(-aij). Матрицю називають протилежною до матриці А і позначають -А ).

Добутком матриці Аm?n =(aij) на число k називають таку матрицю Dm?n = (dij) тієї ж розмірності, що й матриця Аm?n , елементи dij якої дорівнюють dij=kaij для всіх і=1,…,m та j=1,…,n. Дія утворення добутку матриці на число називається множенням матриці на це число. Для позначення добутку матриці на число вживають запис Dm?n =kАm?n . Множення матриці на число має такі властивості :

1. ( k,s, А (ks)A=k(sA ))

2. ( A,B, k k(A+B)=kA+kB)

3. (k,s, А (k+s)A=kA+sA)

На множину всіх m?n - матриць відносно операцій додавання і множення їх на число можна дивитися як на m?n-вимірний векторний простір.

Нехай Аm?n=(aij), Вn?s=(bij) - дві матриці розмінностей відповідно m?n та n?s. Добутком матриці Аm?n на матрицю Вn?s називається така матриця Сm?s=(cij) , що

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj=airbrj .

Бачимо, добуток матриці А на матрицю В визначено тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

В результаті множення матриці А на матрицю В одержуємо матрицю С з таким числом рядків, як матриця А, і з таким числом стовпців, як і матриця В.

Для квадратних матриць однакового порядку визначені обидва добутки АВ та ВА, які є матрицями того ж порядку, що й матриці А та В. При цьому АВ може не дорівнювати ВА. Дія утворення добутку матриці А на матрицю В називається множенням матриці А на матрицю В. Множення матриць має такі властивості:

1. (А, В, C, для яких мають зміст добутки АВ та ВС, [( АВ)С=А(ВС)] ),

2. (А, В, C, для яких мають зміст сума В+С і добуток АВ (а, отже, AC), [A(B+C)=AB+AC]); аналогічно, (A,B,C, для яких мають зміст сума A+B і добуток AC (а, отже, BC), [(A+B)C=AC+BC]),

3. у випадку, коли розглядувані матриці є квадратними матрицями n-го порядку, матриця Еn?n = , задовольняє умову:

n?n n?n·Еn?n= Еn?n· Аn?n= Аn?n])

Делись добром ;)