Зображення дійсних чисел

курсовая работа

2.1 Задачі, при розвязанні яких використовуються ланцюгові дроби

Завдання № 1. Розкласти просту дріб у ланцюгову дріб і знайти її підходящі дробу.

a) ; b) ; c) ; d)

Розвязання.

a) = (3, 2, 1, 24 );

Знаходимо підходящі дроби:

3

2

1

24

1

3

7

10

247

0

1

2

3

74

=; =; =

b) =(3, 3, 33);

3

3

33

1

3

10

333

0

1

3

100

=; =

c) ==(3, 7, 15, 1, 292);

3

7

15

1

292

1

3

22

333

355

103993

0

1

7

106

113

33102

=; =; =;

=;

d) =(0, 2, 2, 3);

0

2

2

3

1

0

1

2

7

0

1

2

5

17

=; =; =.

Завдання № 2. Скоротити дріб.

a); b); c)

Розвязок:

a);

Розкладемо її в кінцеву ланцюгову дріб і знайдемо останню підходящу дріб для неї.

=(4, 1, 1, 6)

=; =; =; =

Дріб нескоротня і =.

b)=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2) ; =; =;

=; =

=;=;=;=

Дріб несократима =.

c) =(1, 1, 2, 2, 32)

; =; =; =;

= - нескоротима=.

Завдання № 3. Знайдіть перші чотири відповідні дроби розкладання в ланцюгову дріб числа р = 3,14159265 ...

Розвязок.

; =; =; =

Відповідь: ; ; ; .

Завдання № 4. Перетворіть в звичайну дріб в наступні ланцюгові дроби:

a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5);

b) (2, 3, 1, 6, 4);

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);

d) (0, 3, 1, 2, 7).

Розвязок:

а) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5) =

Складемо таблицю відповідних дробів:

2

1

1

2

1

6

2

5

2

3

5

13

18

121

260

1421

1

1

2

5

7

47

101

552

Відповідь: =

b) (2, 3, 1, 6, 4) =

2

3

1

6

4

2

7

9

61

253

1

3

4

27

112

Відповідь: =

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)

1

3

2

4

3

1

1

1

5

1

4

9

40

129

169

298

467

2633

1

3

7

31

100

131

231

362

2041

Відповідь: =

d) (0, 3, 1, 2, 7) =

0

3

1

2

7

0

1

1

3

22

1

3

4

11

81

Відповідь: =

Завдання № 4. Розкласти в ланцюгову дріб і замінити відповідним дробом з точністю до 0,001 наступні числа:

a) ; b) ; c) ; d) .

Розвязок: a) =. Виділимо з його цілу частину: , а дробову частину-2, яка <1, представимо у вигляді , де . Повторюючи цю операцію виділення цілої частини і перевертання дробової, отримуємо: ;

;

.

Мы отримали, що , отже, неповні приватні, починаючи з будуть повторюватися і =(2, (4)).

Складемо таблицю відповідних дробів:

2

4

4

4

2

9

38

1

4

17

72

Нам необхідно знайти таку підходящу дріб , щоб . Очевидно, що це , так як 17·72>1000.

Відповідь: .

b) =; =5

;

;

;

;

;

.

Ми отримали неповні часні, починаючи з будуть повторюватися і =(5, (1, 1, 1, 10)).

5

1

1

1

10

1

5

6

11

17

181

198

1

1

2

3

32

35

, так как 32·35>1000.

Відповідь : .

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);

3

2

5

2

7

2

3

7

38

83

619

1321

1

2

11

24

179

382

, так як 24·179>1000.

Відповідь: .

d) =; =1

;

;

;

=((1, 2))

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

3

4

11

15

41

56

153

1

2

3

8

11

30

41

102

, так як 30·41>1000.

Відповідь: .

Завдання № 5. Знайти дійсні числа, які звертаються в дані ланцюгові дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Розвязок:

a) (4, (3, 2, 1)) - змішана періодична дріб.

, тобто , де

x = ((3, 2, 1)) - чисто періодична ланцюгова дріб. Так як вираз, що починається з четвертого неповного приватного 3, має той же вигляд:

то ми можемо записати

x= (3, 2, 1, x) =

=, після чого приходимо до квадратного рівняння щодо x:

D=64+12·7=148 .

Додатній розвязок і є . Знайдем . =4+

=

Відповідь: .

b) ((2, 1))=

=(2, 1, )

Зараз ми можемо знайти таким же шляхом, як і в задачі а), але можна вирішити завдання легше. Складемо таблицю відповідних дробів:

2

1

2

3

3+2

1

1

+1

=

D=4+4·2=12

Позитивне рішення і є шукане .

Відповідь .

Завдання № 6. Записати у вигляді кінченого ланцюгового дробу: a) ; b) ; c) 2,98976; d)

Розвязання.

=(0, 2, 15);

=(3, 7, 15, 1, 292);

2,98976==(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);

= -(2, 1, 30, 2)=(- 2, 1, 30, 2)

Завдання № 7. Розвязати рівняння Пелля:

a) b)

Розвязок:

a) Представимо у вигляді ланцюгового дробу:

=(5, (10)).

Кількість чисел в періоді непарне (одна)=(5; 10)=.

- найменший додатній розвязок.

Відповідь: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Кількість чисел в періоді парне (шість)

4

2

1

3

1

2

4

9

13

48

61

170

1

2

3

11

14

39

Відповідь: x =170, y =39.

Делись добром ;)