Зображення дійсних чисел
2.1 Задачі, при розвязанні яких використовуються ланцюгові дроби
Завдання № 1. Розкласти просту дріб у ланцюгову дріб і знайти її підходящі дробу.
a) ; b) ; c) ; d)
Розвязання.
a) = (3, 2, 1, 24 );
Знаходимо підходящі дроби:
|
3 |
2 |
1 |
24 |
|||
|
1 |
3 |
7 |
10 |
247 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
74 |
=; =; =
b) =(3, 3, 33);
|
3 |
3 |
33 |
|||
|
1 |
3 |
10 |
333 |
||
|
0 |
1 |
3 |
100 |
=; =
c) ==(3, 7, 15, 1, 292);
|
3 |
7 |
15 |
1 |
292 |
|||
|
1 |
3 |
22 |
333 |
355 |
103993 |
||
|
0 |
1 |
7 |
106 |
113 |
33102 |
=; =; =;
=;
d) =(0, 2, 2, 3);
|
0 |
2 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
0 |
1 |
2 |
7 |
||
|
0 |
1 |
2 |
5 |
17 |
=; =; =.
Завдання № 2. Скоротити дріб.
a); b); c)
Розвязок:
a);
Розкладемо її в кінцеву ланцюгову дріб і знайдемо останню підходящу дріб для неї.
=(4, 1, 1, 6)
=; =; =; =
Дріб нескоротня і =.
b)=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2) ; =; =;
=; =
=;=;=;=
Дріб несократима =.
c) =(1, 1, 2, 2, 32)
; =; =; =;
= - нескоротима=.
Завдання № 3. Знайдіть перші чотири відповідні дроби розкладання в ланцюгову дріб числа р = 3,14159265 ...
Розвязок.
; =; =; =
Відповідь: ; ; ; .
Завдання № 4. Перетворіть в звичайну дріб в наступні ланцюгові дроби:
a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5);
b) (2, 3, 1, 6, 4);
c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);
d) (0, 3, 1, 2, 7).
Розвязок:
а) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5) =
Складемо таблицю відповідних дробів:
|
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
6 |
2 |
5 |
||
|
2 |
3 |
5 |
13 |
18 |
121 |
260 |
1421 |
||
|
1 |
1 |
2 |
5 |
7 |
47 |
101 |
552 |
Відповідь: =
b) (2, 3, 1, 6, 4) =
|
2 |
3 |
1 |
6 |
4 |
||
|
2 |
7 |
9 |
61 |
253 |
||
|
1 |
3 |
4 |
27 |
112 |
Відповідь: =
c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)
|
1 |
3 |
2 |
4 |
3 |
1 |
1 |
1 |
5 |
||
|
1 |
4 |
9 |
40 |
129 |
169 |
298 |
467 |
2633 |
||
|
1 |
3 |
7 |
31 |
100 |
131 |
231 |
362 |
2041 |
Відповідь: =
d) (0, 3, 1, 2, 7) =
|
0 |
3 |
1 |
2 |
7 |
||
|
0 |
1 |
1 |
3 |
22 |
||
|
1 |
3 |
4 |
11 |
81 |
Відповідь: =
Завдання № 4. Розкласти в ланцюгову дріб і замінити відповідним дробом з точністю до 0,001 наступні числа:
a) ; b) ; c) ; d) .
Розвязок: a) =. Виділимо з його цілу частину: , а дробову частину-2, яка <1, представимо у вигляді , де . Повторюючи цю операцію виділення цілої частини і перевертання дробової, отримуємо: ;
;
.
Мы отримали, що , отже, неповні приватні, починаючи з будуть повторюватися і =(2, (4)).
Складемо таблицю відповідних дробів:
|
2 |
4 |
4 |
4 |
… |
||
|
2 |
9 |
38 |
||||
|
1 |
4 |
17 |
72 |
Нам необхідно знайти таку підходящу дріб , щоб . Очевидно, що це , так як 17·72>1000.
Відповідь: .
b) =; =5
;
;
;
;
;
.
Ми отримали неповні часні, починаючи з будуть повторюватися і =(5, (1, 1, 1, 10)).
|
5 |
1 |
1 |
1 |
10 |
1 |
… |
||
|
5 |
6 |
11 |
17 |
181 |
198 |
|||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
32 |
35 |
, так как 32·35>1000.
Відповідь : .
c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);
|
3 |
2 |
5 |
2 |
7 |
2 |
||
|
3 |
7 |
38 |
83 |
619 |
1321 |
||
|
1 |
2 |
11 |
24 |
179 |
382 |
, так як 24·179>1000.
Відповідь: .
d) =; =1
;
;
;
=((1, 2))
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
||
|
1 |
3 |
4 |
11 |
15 |
41 |
56 |
153 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
8 |
11 |
30 |
41 |
102 |
, так як 30·41>1000.
Відповідь: .
Завдання № 5. Знайти дійсні числа, які звертаються в дані ланцюгові дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))
Розвязок:
a) (4, (3, 2, 1)) - змішана періодична дріб.
, тобто , де
x = ((3, 2, 1)) - чисто періодична ланцюгова дріб. Так як вираз, що починається з четвертого неповного приватного 3, має той же вигляд:
то ми можемо записати
x= (3, 2, 1, x) =
=, після чого приходимо до квадратного рівняння щодо x:
D=64+12·7=148 .
Додатній розвязок і є . Знайдем . =4+
=
Відповідь: .
b) ((2, 1))=
=(2, 1, )
Зараз ми можемо знайти таким же шляхом, як і в задачі а), але можна вирішити завдання легше. Складемо таблицю відповідних дробів:
|
2 |
1 |
|||
|
2 |
3 |
3+2 |
||
|
1 |
1 |
+1 |
=
D=4+4·2=12
Позитивне рішення і є шукане .
Відповідь .
Завдання № 6. Записати у вигляді кінченого ланцюгового дробу: a) ; b) ; c) 2,98976; d)
Розвязання.
=(0, 2, 15);
=(3, 7, 15, 1, 292);
2,98976==(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);
= -(2, 1, 30, 2)=(- 2, 1, 30, 2)
Завдання № 7. Розвязати рівняння Пелля:
a) b)
Розвязок:
a) Представимо у вигляді ланцюгового дробу:
=(5, (10)).
Кількість чисел в періоді непарне (одна)=(5; 10)=.
- найменший додатній розвязок.
Відповідь: x=51, y=10.
b)
=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))
Кількість чисел в періоді парне (шість)
|
4 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
||
|
4 |
9 |
13 |
48 |
61 |
170 |
||
|
1 |
2 |
3 |
11 |
14 |
39 |
Відповідь: x =170, y =39.