4 Взаємне розташування площин

Дві площини в просторі можуть бути між собою паралельними і перетинатися.

Паралельні площини. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються однієї з них відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються, другої (рис. 10, а).

За такі прямі можуть бути взяті будь-які дві прямі, що перетинаються. Отже, горизонталі і фронталі паралельних площин загального положення відповідно паралельні, в тому числі паралельні й однойменні їх сліди.

Трикутники ABC і DEK (рис. 10,б) паралельні між собою, бо сторони АВ і АС одного трикутника відповідно паралельні сторонам DE і DK другого. Треті сторони ВС і ЕК цих трикутників можуть бути і непаралельними.

Площини частинного положення паралельні тоді, коли паралельні їх однойменні сліди-проекції.

На рис. 10,в зображено паралельні фронтально-проектуючі площини Г і и, а на рис. 10,г -- горизонтально-проектуючі площини Г і ?. Якщо паралельні площини загального положення задано слідами, то їх однойменні сліди також паралельні.

Щоб через дану точку К побудувати площину, паралельну площині прямокутника ABCD (рис. 10,д), досить через точку К провести дві прямі, кожна з яких паралельна двом прямим, що перетинаються, і належать площині прямокутника. На рисунку через точку К проведено прямі l і т, відповідно паралельні стороні ВС і діагоналі BD прямокутника. На рис. 10,е показано, як через точку К проведено площину, паралельну площині ABC.

Рис.10

Площини, що перетинаються. Площини перетинаються по прямій, а положення прямої визначається двома її точками або однією точкою, якщо відомий напрям цієї прямої.

В цьому випадку необхідно розвязати таку основну задачу: побудувати лінію перетину двох площин.

В тих випадках, коли одна з площин є проекціюючою, лінія перетину може бути побудована безпосередньо.

Розглянемо випадки перетину площин, які найчастіше зустрічаються в практиці креслення.

На рис. 11,а,б зображено два прямокутники Г і ?, які перетинаються. Вони (бічні грані призми) займають горизонтально-проекціююче положення, тобто перпендикулярні до площини проекцій р₁. Пряма АВ -- лінія їх перетину. Вона також перпендикулярна до площини р₁.

На рис 11,а,в горизонтальна площина Ф перетинається з горизонтальною проекціюючою площиною Г (верхня основа призми з бічною гранню). Площини перетинаються по прямій АС, проекції якої збігаються з слідами-проекціями цих площин, тобто з Г₁ і Ф₂.

На рис. 11,г,д зображено перетин двох фронтально-проекціюючих площин Г і ?. Лінія їх перетину також буде фронтально-проекціюючою прямою.

Рис. 11

Звідси випливають такі висновки:

1. Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій, перетинаються по прямій, перпендикулярній до тієї самої площини проекцій.

2. Дві площини, перпендикулярні до різних площин проекцій, перетинаються по прямій, проекції якої збігаються із слідами-проекціями площин.

На рис. 12,а,б зображено перетин горизонтальної площини рівня Г з площиною загального положення - трикутником ABS.

Рис. 12

Фронтальна проекція Е₂ і D₂ лінії перетину збігається із слідом Г₂. Провівши з точок Е₂ і D₂ лінії звязку, знайдемо горизонтальну проекцію Е₁D₁ лінії перетину. Дві площини загального положення, наприклад, бічні грані піраміди (рис. 12,а), перетинаються також по прямій загального положення (рис. 12,в).

Висновок по четвертому питанню:

1. Дві площини в просторі можуть бути між собою паралельними і перетинатися.

2. Паралельні площини. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються однієї з них відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються, другої.