Изгибаемые многогранники. Октаэдр Брикара. Флексор Штеффена

курсовая работа

1 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Первый значительный результат в теории изгибаний многогранников получил Огюстен Коши, чья теорема, доказанная в 1813 году, утверждает, что любой выпуклый многогранник неизгибаем.

Приведем доказательство этой теоремы. Для начала рассмотрим теорему Коши о единственности.

Теорема. Два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

рис. 1. Выпуклый и невыпуклый многогранники

Обратимся к многогранникам, показанным на рисунке 1. Башня с четырёхскатной крышей на кубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они не равны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.

Эта теорема объясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как ещё говорят, не изгибается.

Теорема. Выпуклый многогранник неизгибаем.

Действительно, допустим, что выпуклый многогранник M изгибаем. Тогда существует другой, не равный ему многогранник M, двугранные углы которого мало отличаются от соответствующих углов многогранника M. Если отличие углов достаточно маленькое, то многогранник M также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранников равны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны.

Однако вопрос, однозначно ли задаётся форма многогранной поверхности своими гранями или она может меняться за счёт изменения двугранных углов, интересовал математиков задолго до Коши.

В XI книге знаменитых "Начал" Евклида многогранники определяются как равные, если они составлены из соответственно равных граней, взятых в одинаковом порядке. Впоследствии многие высказывали мнение, что это, собственно, не определение, а утверждение, нуждающееся в доказательстве. При этом все верили в его справедливость, а в 1776 году великий математик Леонард Эйлер высказал гипотезу: "Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвётся". Под "замкнутой пространственной фигурой" понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью, т. е. поверхностью без края. Таким образом, предположение Эйлера относилось не только к многогранным, но и к произвольным поверхностям. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников, а также то, что равенство выпуклых многогранников можно определять по Евклиду.

На протяжении двух веков геометры верили, что не только любой выпуклый, но и любой невыпуклый многогранник тоже неизгибаем.

рис. 2. Октаэдр Брикара

Первые сомнения в этом зародились в 1897 году, после того как французский математик Р. Брикар доказал, что существуют изгибаемые октаэдры.

Легко заметить, что октаэдр Брикара имеет самопересечения (рис. 2). И хотя после Брикара исследования изгибаемых октаэдров разными другими методами продолжались, но главного результата -- примера изгибаемого и не имеющего самопересечений многогранника все не было и не было. Более того, в 1974 г. американский математик Г.Глак доказал, что в некотором смысле почти все многогранники неизгибаемы, и поэтому поиск изгибаемого многогранника без самопересечений считался почти безнадежным. Тем не менее в 1977 г. американский математик Р.Коннелли сумел построить такой многогранник -- весьма сложную конструкцию с 18 вершинами. Коннэлли назвал такие многогранники флексорами От английского слова flex - изгибать.

Вскоре после Коннелли немецкий математик Клаус Штеффен предложил еще один многогранник, всего с 9 вершинами, который до сих пор остается самым простым примером вложенного изгибаемого многогранника. Отметим, что примеру Штефена уже более 20 лет, но вопрос о существовании изгибаемого многогранника без самопересечений с меньшим (чем девять) числом вершин пока остается открытым.

Почти сразу же после построения изгибаемых многогранников обнаружилось, что все они обладают удивительным свойством: в ходе изгибания их объем остается неизменным. Неизвестно, кто заметил это свойство первым. В августе 1978 г. на Международном математическом конгрессе в Хельсинки Коннелли высказал гипотезу о том, что оно является общим для всех изгибаемых многогранников. Не было никакой уверенности в справедливости гипотезы. По-видимому, многие склонялись к мысли, что она неверна, и искали контрпримеры. При этом были и курьезные случаи. Рассказывают, что на Западе на одной из научных выставок как опровержение этой гипотезы демонстрировали модель "изгибаемого" многогранника, из которой при ее деформации со свистом выходил воздух, так что на ней можно было играть, как на волынке. Но позже выяснилось, что в математическом смысле модель неизгибаема, а ее "изгибания" -- следствие растяжения материала.

Делись добром ;)