1.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

Функцию вида

,

где и 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции

:

:

1) =

2)

3) возрастает

4) непрерывна;

при 0 < < 1:

1) =

2)

3) убывает;

4) непрерывна.

График функции

,

где > 1 изображен на рисунке 1.

Рисунок 1 График функции , где > 1

График функции , где изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 График функции , где

Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2, называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную функцию . Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции : ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при , если и при , если .

Школьники часто путают термины: "степенная функция" и "показательная функция". Сравните:

,,,-- это примеры степенных функций.

-- это примеры показательных функций.

Вообще

математика показательный логарифмический функция

,

где -- конкретное число, -- степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);

,

где -- конкретное число (положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х содержится в показателе степени).

А такую "экзотическую" функцию, как , не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).

Основные свойства показательной функции

1. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

2. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 3); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Рисунок 3 График функции

3. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

4. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 4); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Рисунок 4 График функции

Показательными уравнениями называют уравнения вида , где -- положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.

Основные свойства:

1. Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению

2. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где а -- положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: f

Логарифмом положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .

Свойства логарифма:

1)

2)

3)

)

Логарифм по основанию обычно называют десятичным логарифмом и обозначают как .

Функция её свойства и график.

График функции симметричен графику функции относительно прямой

В соответствии с рисунком 5 схематически изображены графики функций и в случае, когда .

Рисунок 5 График функции

Свойства функции ,

1) =

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; +);

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вверх.

На рисунке 6 схематически изображены графики функций и в случае, когда

Рисунок 6 График функции

Свойства функции ,

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает на (0; +);

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз.

Отметим, что ось является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда , и в случае, когда 0 < <1.

Свойства логарифмов:

1)

2)

3)

4) ,

5)

6) ,

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Логарифмическими уравнениями называются уравнения вида

положительное число, отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому виду. Если , то логарифмическое уравнение равносильно уравнению

Логарифмическими неравенствами называются неравенства вида

где положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Если и , то: при логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: при логарифмическое неравенство

равносильно неравенству противоположного смысла:

Перейдем к новому основанию логарифма. Если положительные числа, причем .

Если положительные и отличные от 1 числа, то справедливо

Если положительные числа, причем то для любого числа справедливо

Дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Число . Функция , её свойства, график, дифференцирование.

Рассмотрим показательную функцию , где . Для различных оснований получаем различные графики, но можно заметить, что все они проходят через точку , все они имеют горизонтальную асимптоту при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем для примера касательную к графику функции в точке , рассмотренную на рисунке 7.

Рисунок 7 Касательная к графику функции

Если сделать аккуратные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью угол 35°. Теперь проведем касательную к графику функции тоже в точке , которая изображена на рисунке 8.

Рисунок 8 Касательная к графику функции

Здесь угол между касательной и осью х будет больше 48°. А для показательной функции в аналогичной ситуации получаем угол примерно 66,5°, изображенный на рисунке 9.

Рисунок 9 График функции

Итак, если основание а показательной функции постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание , для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Доказано, что интересующее нас основание действительно существует, его принято обозначать буквой . Установлено, что число -- иррациональное, то есть представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:

= ... ;

на практике обычно полагают, что

Графиком функции изображен на рисунке 10. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (график показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45.

Рисунок 10 Касательная к графику функции

Свойства функции :

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз.

В курсе математического анализа доказано, что функция имеет производную в любой точке , причем

Натуральные логарифмы. Функция , её свойства, график, дифференцирование

Если основанием логарифма служит число , то говорят, что задан натуральный логарифм.

Мы знаем, что график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой . Значит, и график функции симметричен графику функции относительно прямой , изображенный на рисунке 11. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45°.

Рисунок 11 Симметрия графиков

Свойства функции :

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (

4) не ограничена ни сверху, ни снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7

8) выпукла вверх;

9) дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения справедлива формула дифференцирования

Формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функции:

1) () = ;

2) () [1, с. 232-272].