Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики
1.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
Функцию вида
,
где и 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции
:
:
1) =
2)
3) возрастает
4) непрерывна;
при 0 < < 1:
1) =
2)
3) убывает;
4) непрерывна.
График функции
,
где > 1 изображен на рисунке 1.
Рисунок 1 График функции , где > 1
График функции , где изображен на рисунке 2.
Рисунок 2 График функции , где
Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2, называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную функцию . Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции : ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при , если и при , если .
Школьники часто путают термины: "степенная функция" и "показательная функция". Сравните:
,,,-- это примеры степенных функций.
-- это примеры показательных функций.
Вообще
математика показательный логарифмический функция
,
где -- конкретное число, -- степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
,
где -- конкретное число (положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х содержится в показателе степени).
А такую "экзотическую" функцию, как , не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Основные свойства показательной функции
1. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда
2. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 3); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .
Рисунок 3 График функции
3. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда
4. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 4); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .
Рисунок 4 График функции
Показательными уравнениями называют уравнения вида , где -- положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.
Основные свойства:
1. Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению
2. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где а -- положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
3. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: f
Логарифмом положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .
Свойства логарифма:
1)
2)
3)
)
Логарифм по основанию обычно называют десятичным логарифмом и обозначают как .
Функция её свойства и график.
График функции симметричен графику функции относительно прямой
В соответствии с рисунком 5 схематически изображены графики функций и в случае, когда .
Рисунок 5 График функции
Свойства функции ,
1) =
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вверх.
На рисунке 6 схематически изображены графики функций и в случае, когда
Рисунок 6 График функции
Свойства функции ,
1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (0; +);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Отметим, что ось является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда , и в случае, когда 0 < <1.
Свойства логарифмов:
1)
2)
3)
4) ,
5)
6) ,
Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Логарифмическими уравнениями называются уравнения вида
положительное число, отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому виду. Если , то логарифмическое уравнение равносильно уравнению
Логарифмическими неравенствами называются неравенства вида
где положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Если и , то: при логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: при логарифмическое неравенство
равносильно неравенству противоположного смысла:
Перейдем к новому основанию логарифма. Если положительные числа, причем .
Если положительные и отличные от 1 числа, то справедливо
Если положительные числа, причем то для любого числа справедливо
Дифференцирование показательной и логарифмической функций.
Число . Функция , её свойства, график, дифференцирование.
Рассмотрим показательную функцию , где . Для различных оснований получаем различные графики, но можно заметить, что все они проходят через точку , все они имеют горизонтальную асимптоту при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках.
Проведем для примера касательную к графику функции в точке , рассмотренную на рисунке 7.
Рисунок 7 Касательная к графику функции
Если сделать аккуратные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью угол 35°. Теперь проведем касательную к графику функции тоже в точке , которая изображена на рисунке 8.
Рисунок 8 Касательная к графику функции
Здесь угол между касательной и осью х будет больше 48°. А для показательной функции в аналогичной ситуации получаем угол примерно 66,5°, изображенный на рисунке 9.
Рисунок 9 График функции
Итак, если основание а показательной функции постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание , для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Доказано, что интересующее нас основание действительно существует, его принято обозначать буквой . Установлено, что число -- иррациональное, то есть представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:
= ... ;
на практике обычно полагают, что
Графиком функции изображен на рисунке 10. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (график показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45.
Рисунок 10 Касательная к графику функции
Свойства функции :
1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
В курсе математического анализа доказано, что функция имеет производную в любой точке , причем
Натуральные логарифмы. Функция , её свойства, график, дифференцирование
Если основанием логарифма служит число , то говорят, что задан натуральный логарифм.
Мы знаем, что график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой . Значит, и график функции симметричен графику функции относительно прямой , изображенный на рисунке 11. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45°.
Рисунок 11 Симметрия графиков
Свойства функции :
1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (
4) не ограничена ни сверху, ни снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7
8) выпукла вверх;
9) дифференцируема.
В курсе математического анализа доказано, что для любого значения справедлива формула дифференцирования
Формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функции:
1) () = ;
2) () [1, с. 232-272].