Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики
2.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики
1. Решите уравнение
.
Решение. Построив в одной системе координат графики функций , замечаем, что они имеют одну общую точку Значит, уравнение имеет единственный корень [1, с. 256].
2. Решите уравнение
[10, с. 1].
Решение. Здесь есть возможность и левую и правую части уравнения представить в виде степени с основанием . В самом деле:
1)
2)
3)
4)
Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду
Далее получаем:
3. Решите неравенство
[10, с. 4].
Решение. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла
Найдем корни квадратного трехчлена
:
,
Значит, неравенство
4. Вычислить [1, с. 260].
Решение. Пусть Тогда, по определению логарифма, . Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке
[10, с. 5].
Решение. Функция непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции, т.е. число , меньше Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка
6. Вычислите [10, с. 6].
Решение. Поработаем с показателем степени:
Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде .
Далее находим:
.
Остается вспомнить, что Значит,
7. Решить систему уравнений
Решение. Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:
Решим полученную систему уравнений
Подставив вместо во второе уравнение системы, получим:
Из соотношения находим соотношение:
Осталось сделать проверку найденных пар с помощью условий, которые задают область допустимых значений переменных эти условия мы находим, анализируя исходную систему уравнений. Пара ( удовлетворяет условиям, а пара не удовлетворяет.
Ответ: (
8. Решите систему неравенств
.
Решение.
Неравенство запишем в виде
(
Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем:
(,
Значит,
,
Второе неравенство системы определено при
то есть при и При допустимых значениях значений переменной получаем:
, .
С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
Сравним и . Так как , то
,
следовательно,
.
Ответ: [11, с.1].