Изучение содержания, доказательств и применения основных математических теорем

курсовая работа

1. Теорема Ферма

В 1630 году французский математик - любитель, юрист по профессии, Пьер Ферма (1601-1665) записал на полях Арифметики Диофанта Александрийского: «невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, больше квадрата, на две степени с тем же показателем» и добавил: «я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы» . После его смерти в бумагах П. Ферма нашли доказательство только для степени, равной 4.

Известно, что П. Ферма в своих математических изысканиях считал ценным лишь вывод, результат поиска. При его жизни не было опубликовано ни одной работы. Однако учёные того времени во многом обязаны Ферма, результаты исследований которого становились известными благодаря переписке и личным встречам. В переписке он нередко формулировал лишь теорему, полагая излишними рассуждения по её доказательству. Поэтому, когда его выводы находили подтверждение, учёным стоило немалого труда найти доказательства. Некоторые из них были доказаны уже после смерти Ферма, а Великая теорема Ферма, как её именуют потомки, в том виде, как она была сформулирована Пьером Ферма, не доказана до сих пор.

Теперь Великая теорема Ферма формулируется так: «для любого натурального числа n>2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z» [2, с. 605-608]. Сравнение этой формулировки с формулировкой Ферма свидетельствует о том, что потомки не только изложили её более корректно, но и существенно упростили. В этом виде доказательства ей, по некоторым сведениям, найдены, но «чудесными» их не называют. Признанное математическим миром доказательство американского математика Эндрю Уайлса при помощи его коллеги Тейлора, использующее теорию Ивасавы (раздел теории чисел), гипотезу Таниямы (аналог Великой теоремы, которая устанавливает связь между двухмерными и четырёхмерными формами), преобразования Фрея (приводящие уравнение Великой теоремы к уравнению эллиптической кривой, которая фигурирует в гипотезе Таниямы) потребовало порядка ста страниц. Наверняка Ферма имел в виду иное доказательство, которое соответствовало математическому аппарату того времени. Известно, что в тот период, когда Ферма сформулировал свою теорему, он занимался исследованиями конических сечений и бесконечно малых величин, дал общий закон дифференцирования и применил это закон к дифференцированию дробных степеней. Поэтому вполне вероятно, что он вывел уравнение, исследуя характеристики усечённого конуса. Математики забыли и упорно не хотят вспоминать о том, что в истоке соотношений, используемых при расчётах значений тригонометрических функций, лежит длина окружности, которая не имеет общей единицы измерения с радиусом. Похоже на то, что Пьер Ферма это помнил, но и его одолели сомнения. Вероятно, поэтому он не опубликовал доказательство Великой теоремы и не упомянул о ней в перечне своих достижений.

Первый вариант доказательства

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1, выполняется равенство

(1) z12 = x2 + y2

(2) При показателе степени n>2

z1n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

zn = xn + yn

z > y ? x или z > x ? y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

zn = xn + yn при n>2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z < z1

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 < x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) р/3 < z < р/2

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z

(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника. Рассмотрим, какие значения может принимать тригонометрическая функция угла z.

(10) cos z = (x2 + y2 - z2)/2xy = в, здесь 0 < в < 0,5

Значение угла z есть отношение длины дуги, заключённой между его сторонами, которая описана произвольным радиусом из вершины угла, к радиусу. Длина дуги выражается иррациональным числом. Рациональными числами можно задать лишь интервал значений, в котором находится её длина. Поэтому и значение угла z может быть задано с любой точностью рациональными числами только интервалом значений, в котором находится его величина. Отсюда следует, что угол z нельзя задать рациональным числом. Значения тригонометрической функции этого угла можно вычислить для заданных пределов интервала значений угла. Но значение тригонометрической функции угла нельзя выразить рациональным числом. Поэтому значения длины линии синуса и косинуса также можно выразить рациональными числами только значениями пределов интервала, в котором эти длины находятся.

В вычислениях иногда используется также градусное измерение углов. При этом ставится знак равенства между иррациональным и рациональным числом, например, z = р/2 = 900. Это равенство в теоретическом плане некорректно. Также в теоретическом плане некорректно выражать результаты вычислений длины линий синусов и косинусов рациональными числами. Рациональными числами можно выражать значения только дискретно изменяющихся величин. Значения функций, не имеющих разрывов, во всех случаях выражаются иррациональными числами.

Если предположить, что cos z может принимать рациональные значения, и знак равенства в (9) правомерен, то Великая теорема Ферма опровергнута. Но тогда следует признать неверным доказательство, выполненное Эндрю Уайлсом. Для проверки этого вывода можно найти множество решений остроугольных треугольников в рациональных числах относительно стороны z. При подстановке полученных значений в (3) должно иметь место равенство, но это противоречит результатам многочисленных экспериментов, компьютерных расчётов до чрезвычайно больших значений x, y, z и n.

В современной математике принято при переходе от остроугольного треугольника к прямоугольному треугольнику приравнивать значение 2xycosz нулю. Эти действия допустимы при решении практических задач, но не допустимы в теоретическом анализе, поскольку противоречат (10).

Строго говоря, прямоугольных треугольников не существует вовсе. Но, учитывая, что главное назначение математики заключается в обслуживании прикладных наук, условно можно допустить существование прямоугольных треугольников, заданных с любой необходимой точностью. Это допущение используется как метод решения уравнений, основанный на случайном совпадении вида уравнений разного рода, описывающих соотношения площадей и соотношения сторон треугольника. [9, с. 443-551]

В теоретическом плане теорема Пифагора применима для определения соотношения площадей, там где в уравнении используются значения соизмеримых отрезков. В треугольниках же длины сторон несоизмеримы. Как минимум, одна из сторон имеет иррациональное значение. Именно это и доказывает Великая теорема Ферма, которая по существу есть решение треугольника, записанное в алгебраической форме.

Учитывая сказанное, не существует значения zn, которое удовлетворяло бы равенству (9).

(11) zn ? xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 при n>2

Второй вариант доказательства

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1 (рис.1), выполняется равенство

(1) z12 = x2 + y2

При показателе степени n>2

(2) z1n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

zn = xn + yn

z > y ? x или z > x ? y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

zn = xn + yn при n>2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z < z1

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 < x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) р/3 < z < р/2

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z

(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z

Отсюда алгебраическим преобразованием получаем

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Треугольник, согласно (5), можно преобразовать в прямоугольный треугольник со сторонами zn, xn и yn умножением длины каждой из сторон на коэффициенты zn-1, xn-1 и yn-1 соответственно . Его решение будет иметь вид

(10) z2n = x2n + y2n

Если стороны этого треугольника уменьшить до величин zn/2, xn/2 и yn/2, то по обратной аналогии с (2) получим разомкнутый прямоугольный треугольник, в решении которого

(11) zn < xn + yn

Но это значение zn нами уже получено алгебраическим преобразованием, (9).

Великая теорема Ферма опровергнута, если одновременно выполняются условия (9) и (11), то есть

(12) zn < xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Очевидно, что (12) противоречит (9). Условие опровержения Великой теоремы Ферма не выполнено, следовательно, эта теорема верна.

Расширение Великой теоремы Ферма.

Приняв за основу первый вариант доказательства, рассмотрим выражение (11)

zn ? xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 в области значений n?2.

При n=2 остроугольный треугольник преобразуется в прямоугольный треугольник.

В области значений 1<n<2 мы имеем тупоугольный треугольник, у которого угол, противолежащий стороне z, z>р/2. В этой области Великая теорема Ферма будет иметь вид

(1) zn ? xn + yn при 1<n<2

При показателе степени n<2

(2) z1n = (x2 + y2)n/2 < xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

zn = xn + yn

z > y ? x или z > x ? y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

zn = xn + yn при n<2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z > z1

Конец гипотенузы такого разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У этого разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 > x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также тупоугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) р/2 < z < р

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного тупоугольного треугольника относительно стороны z

(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z

Отсюда

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Доказательство неравенства

(10) zn ? xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 при 1<n<2

по существу ничем не отличается от первого и второго варианта доказательства Великой теоремы Ферма.

Таким образом, Великую теорему Ферма в расширенном виде можно, с учётом принятого допущения о существовании прямоугольных треугольников, можно сформулировать:

Для любого вещественного числа 1<n?2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в вещественных, ненулевых числах x, y, z, если оно не может быть преобразовано упрощением в уравнение, не отвечающее данным условиям.

Делись добром ;)