Интеграл Лебега-Стилтьеса
1.1 Проблема моментов
Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел ; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.
Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел ищется такая функция , чтобы имели место равенства . Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.
Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена
Условиями
(1)
при неотрицательной на .
Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.
Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:
Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде
где . (2)
Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве брать числа , получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу , а будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании . Для этой цепной дроби числа , очевидно, удовлетворяют неравенствам
(3)
так как в этом случае .
Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла , Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида
. (4)
Он ограничивается тем частным случаем, когда - произвольная интегрируемая по Риману функция, а такова, что внутри не существует интервала , в котором , и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция
(5)
является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция , и в интеграле (4) возможна замена переменных
сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.
По поводу же общего случая Стилтьес указал, что "условия, налагаемые на функции , делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления". Действительно, если не удовлетворяет условию отсутствия в интервала , в котором , то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла .
Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.
Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида
(6)
где - в общем случае комплексное число.
Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы
причем, если ряд расходится, то
если же ряд сходится, то
и функции и различны.
К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом
(7)
и непрерывной дробью
, (8)
где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :
Формулами
Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство
или, в другой форме,
В частности,
Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .
Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :
(9)
Тогда оказывается, что ряды
сходятся и
(10)
Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.
В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .
Сумма
может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс
имеет значение .
Равным образом система масс , где , будем иметь те же моменты .
Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:
Найти распределение положительной массы на прямой , если даны моменты порядка ".
Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.
Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке . Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни , оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале . Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел ; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности , как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции . Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решение проблемы моментов. Если при этом и , и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и . Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала , но для этого требовалось дать иное определение моментов.
Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.
Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.
Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей . В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.