2.12. Примеры и дополнения

Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа , фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через и наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая , легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа и , так что

Написав для промежутков и неравенства вида (23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:

так что число

Лежит строго между и ; а тогда найдем и строго между и , для которого и т.д.

Используя формулу (11) п., формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов.

Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), а монотонно возрастает в промежутке . Введем функцию

;

она, как мы знаем, будет непрерывна.

Теперь последовательно имеем

что и требовалось доказать.

Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно :

Доказать, что, если в точке одна из функций и непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов и влечет за собой существование и .

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы мы будем включать точку в состав точек деления, то сумма будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков и ; при она будет стремиться к сумме интегралов . Пусть теперь точка не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку , мы от перейдем к новой сумме , про которую мы уже знаем, что при она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность будет вместе с стремиться к 0.

Пусть точка попадает в промежуток ; тогда сумма отличается от суммы лишь тем, что вместо слагаемого

в ней имеется два слагаемых:

где и выбираются произвольно под условиями и . Положив для упрощения , сведем последнее выражение к

так что

(29)

Когда , то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, что и требовалось доказать.

Если обе функции и оказываются разрывными в одной интеграл той же точке , то интеграл Стилтьеса

(30)

заведомо не существует.

Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала , и пределы и не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, Выбрав один раз , а другой раз взяв в качестве составим две суммы и , разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь

Кроме того, точку можно выбрать так, чтобы разность была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

Если же , но их общее значение отлично от ("устранимый разрыв"), то, наоборот, включим в число точек деления; пусть . Если имеет, например, разрыв в точке справа, то, как и только что, составим две суммы и , разнящиеся лишь выбором : для точка взята произвольно между и , а для в качестве взята . По-прежнему имеем (29), интеграл рассуждение завершается аналогично.

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4.

Пусть непрерывна, а имеет ограниченное изменение в промежутке .

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу в точке , где функция непрерывна.

Заключение сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация .

Если есть класс непрерывных в промежутке функций, а - класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса . Действительно, если функция имеет точку разрыва , то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением , имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию , для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка , в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть .

В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений :

так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел , чтобы и ряд

(31)

все же расходился. Теперь определим функцию , полагая

а в промежутках считая линейной:

Очевидно, будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при и

так что интеграл от по действительно не существует.

Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции существует по любой из , то необходимо принадлежит ; аналогично, если этот интеграл по данной функции существует для любой из , то необходимо принадлежит .

В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функции равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:

(Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции ).

При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.:

и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцелла.

Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка.

Пусть для каждой части данного промежутка определено число , причем, если промежуток точкой разложен на части и , то и

Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка . Предположим, что кроме неё для промежутка задана и функция точки . Разложим теперь, как обычно, промежуток точками

на части , в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму

(32)

Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно - учитывая процесс его построения - обозначить так:

(33)

Если определить вторую функцию точки , положив

для

то, ввиду аддитивности функции , во всех случаях

(34)

так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме

а предел (33) - к обыкновенному интегралу Стилтьеса

.

Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).