Интегральное определение логарифма и его исторические корни

курсовая работа

§2 Логарифм как показатель степени

Логарифмы в школьном курсе математики обычно вводят как показатель степени некоторого положительного неравного единице числа.

О: Логарифм числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b.

Исторически понятие логарифма возникло для упрощения вычислений. Один из таких приемов был известен во времена Архимеда, он состоит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессии.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Если перемножить какие-нибудь два числа нижнего ряда, например 4 и 32 (4·32=128), то параллельно с этим умножением, происходит сложение соответственных «верхних» чисел: 2+5=7. Это происходит потому, что 4=22; 32=25 4·32=22·25=(2·2)·(2·2·2·2·2)=27

Логарифм, число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100). Если n - заданное число, b - основание и 1 - логарифм, то b1 = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа 1. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений 10gb n = 1 если с геометрической прогрессией 1, б, бІ,б?,... сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов 1, 2, 3, 4,..., то произведение двух членов первой а? и а? будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1. с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.

1° Сложению в арифметических прогрессиях отвечает умножение в геометрических.

2° Вычитанию в арифметических прогрессиях отвечает деление в геометрических.

3° Простому умножению (т. е. числа на число) в арифметических прогрессиях в геометрических отвечает умножение на себя (возвышение в степень). Так, удвоению члена арифметической прогрессии в геометрической отвечает возведение в квадрат.

4" Делению в арифметических прогрессиях отвечает извлечение корня в геометрических.

Формула alogab=b (где b>0,a>0 и a?1) называют основным логарифмическим тождеством.

Основные свойства логарифмов.:

При любых a>0 и (a?1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

4° .

для любого действительного p.

Для доказательства правила 3° воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

х=alogaх у=alogaу

перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху= alogaх · alogaу =alogaх + logaу

т.е. ху=alogaх + logaу

Следовательно, по определению логарифма

Для доказательства правила 5°воспользуемся тождеством х=alogaх откуда xp =(alogaх)p=a?logaх. Следовательно, по определению

Основное свойство логарифмов широко применяется в ходе преобразования выражений. содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула верна, если обе части имеют смысл, т.е. при х>0, a>0 и a?1, b>0 и b?1.

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда

разделив обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.

П р и м е р ы:

log 3 81 = 4, так как 34 = 81;

log 1/3 27 = - 3, так как (1/3)3 = 33 = 27.

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg, т.е. 1оg 10 N = lg N. Логарифмы чисел 10, 100, 1000,... равны соответственно 1, 2, 3,..., Т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001,... равны соответственно -1, -2, -3,..., Т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln, т.е. 1оg е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n) n при неограниченном возрастании n. Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

Делись добром ;)