§4 Интегральное определение логарифма

В современных учебниках по высшей математике даётся интегральное определение логарифма, его суть та же что и площади под гиперболой, но присутствует интеграл.

Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные функции с помощью интеграла. Определим функцию ln x равенством

логарифм вычисление интеграл функция

1. Так как функция f(t)= непрерывна в интервале (0,+?), то интеграл (1) существует в том же интервале изменения x и, следовательно, интервал (0,+?) является областью определения функции ln x.

2. Функция ln x дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой точке области определения.

(ln x)=

3. Функция ln x возрастает в интервале (0,+?). Это следует из того что в данном интервале, то есть (ln x) >0

5. Для любых a > 0 и b>0 ln (a·b)=ln a+ln b. Для доказательства рассмотрим функцию g(x) = ln(ax). Ее производная g(x)= , но тогда ln (ах) и ln x являются различными первообразными функции и поэтому

ln(ах)= ln х + С.

Полагая в этом равенстве x=1, получаем lna =С. Таким образом,

ln(ах)= ln х + ln a

Очевидно, методом математической индукции это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых. Из равенства

ln a=)+lnb

Получаем

)=ln a ? ln b

6. Для любого x?(0,?) и любого действительного a справедливо равенство

ln(xЄ)=a ln x

7. Множество значений функции ln x есть все множество действительных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции ln x множество её значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен сверху и снизу, так как, например, ln2ⁿ =nln2, а ln2^-n =-nln2.