1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задана система ОДУ:
Численное интегрирование этой системы заключается в определении значений x(t) на интервале времени от 0 до Т при заданных начальных условиях х(0). При этом интервал времени от 0 до Т разбивается на шаги с интервалом tm=hm=(tm+1-tm), здесь m - номер шага, m=. Очередное значение хm+1 вычисляется на основании предыдущих значений х:
xm+1=xm+hmF(xm,tm)
Для дальнейшего решения системы ОДУ методом Эйлера линеаризируем ее в точке xm,tm:
Матрица , при этом суть константы, вычисленные в точке линеаризации:
=
Входной сигнал при линеаризации является известной функцией времени и при фиксированном tm на шаге hm может считаться константой. Элементы матрицы А меняются лишь с изменением точки линеаризации.
Характеристики метода:
1. Точность. Формула xm+1=xm+hmF(xm,tm) аппроксимирует ряд Тейлора для функции x(tm - 1) до линейного по h члена включительно. Поэтому еami пропорциональна hm2. Можно сказать, что существует такое значение в интервале, при котором
е
2. Устойчивость. Для анализа устойчивость матрицу А приводят к диагональному виду: A = PлP-1. Тогда система примет вид: x = PлP-1x. Нулевое состояние равновесия системы асимптотически устойчиво при <0, значит и метод Эйлера для этого уравнения, имеющий вид, также асимптотически устойчив. При >0 нулевое состояние равновесия системы неустойчиво. Следовательно, система также неустойчива.
3. Шаг интегрирования. При соблюдении абсолютной или относительной устойчивости:
hmin,
В любых случаях шаг нужно корректировать по условиям точности.
эйлер линейный уравнение программа интерация
- ВВЕДЕНИЕ
- 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
- 2. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
- 2.1 Общие сведения
- 2.2 Функциональное назначение
- 2.3 Логическая структура
- 2.4 Входные данные
- 2.5 Вызов и загрузка
- 2.6 Выходные данные
- 3. ОПИСАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
- 3.2 Для обычных линейных ОДУ
- 3.3 Для жестких ОДУ
- 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. ВЫВОДЫ
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- Системы линейных алгебраических уравнений, способы их решения.
- Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения
- Численные методы решения систем уравнений
- Б) Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- 3.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе matlab Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса
- Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
- Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений