1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана система ОДУ:

Численное интегрирование этой системы заключается в определении значений x(t) на интервале времени от 0 до Т при заданных начальных условиях х(0). При этом интервал времени от 0 до Т разбивается на шаги с интервалом t_m=h_m=(t_m+1-t_m), здесь m - номер шага, m=. Очередное значение х^m+1 вычисляется на основании предыдущих значений х:

x^m+1=x^m+h_mF(x^m,t_m)

Для дальнейшего решения системы ОДУ методом Эйлера линеаризируем ее в точке x^m,t_m:

Матрица , при этом суть константы, вычисленные в точке линеаризации:

=

Входной сигнал при линеаризации является известной функцией времени и при фиксированном t_m на шаге h_m может считаться константой. Элементы матрицы А меняются лишь с изменением точки линеаризации.

Характеристики метода:

1. Точность. Формула x^m+1=x^m+h_mF(x^m,t_m) аппроксимирует ряд Тейлора для функции x(t_m - 1) до линейного по h члена включительно. Поэтому е^am_i пропорциональна h_m². Можно сказать, что существует такое значение в интервале, при котором

е

2. Устойчивость. Для анализа устойчивость матрицу А приводят к диагональному виду: A = PлP^-1. Тогда система примет вид: x = PлP^-1x. Нулевое состояние равновесия системы асимптотически устойчиво при <0, значит и метод Эйлера для этого уравнения, имеющий вид, также асимптотически устойчив. При >0 нулевое состояние равновесия системы неустойчиво. Следовательно, система также неустойчива.

3. Шаг интегрирования. При соблюдении абсолютной или относительной устойчивости:

h_min,

В любых случаях шаг нужно корректировать по условиям точности.

эйлер линейный уравнение программа интерация