Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки
2.3 Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:
Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.
Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:
;
здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.
Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь
Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим:
.
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
Определение. Правильные рациональные дроби вида
(1).
(2). (k-целое положительное число
(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).
(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.
Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:
(1)
(2)
(3)
=
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:
(4)
Произведем преобразования:
Первый интеграл берется подстановкой :
Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде
,
полагая
(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:
.
Преобразуем интеграл:
Интегрируя по частям ,будем иметь
.
Подставляя это выражение в равенство (1), получим
=
=.
В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:
Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.