Исследование динамики системы с использованием математической модели
3. Решение дифференциальноых уравнений математической модели системы с гасителем
Преобразуем математичесскую модель (5). Сгрупируем значения при y и ц. Разделим первое уравнения на массу, второе на момент инерции, третье на массу гасителя.
(20)
Для удобства дальнейших преобразований введем обозначения:
(21)
С учетом обозначений уравнения математической модели примут вид:
(22)
Решения уравнений будем искать в виде:
(23)
где А1, А2 - амплитуды колебаний.
Подставив решение (23) в дифференциальные уравнения (22) получим следующую систему алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний А1, А2, А3.
(24)
Отсюда находим:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Определим параметры динамического гасителя. - масса гасителя, 0,1 от массы системы. . - расстояние от точки О до гасителя, выберем равной . - жесткость пружины гасителя, определяется из уравнения амплитуды, при условии, что . Приравняем к 0, подставим обозначения (21), выразим :
(30)
- частота гашения, выберем
Построим амплитудно-частотные характеристики и зависимости углового и линейного перемещения от времени. Для этого разработана программа в программной среде MATLAB (приложение B). В результате расчета, на рисунке 3.2 виден антирезонанс на частоте гашения , на рисунке 3.5 видны погашенные колебания.
Рисунок 3.1 - Амплитудно-частотная характеристика линейных колебаний
Рисунок 3.2 - Амплитудно-частотная характеристика угловых колебаний
Рисунок 3.3 - Амплитудно-частотная характеристика гасителя
Рисунок 3.4 - Зависимость линейного перемещения от времени
Рисунок 3.5 - Зависимость углового перемещения от времени
Рисунок 3.6 - Зависимость перемещения гасителя от времени