Исследование классических методов анализа экспериментальных данных

дипломная работа

2.1.2 Требования к оценкам

О качестве оценок неизвестных параметров будем судить по тому, насколько хорошо выполняется приближенное равенство:

и?И

Рассмотрим ошибку Д, возникающей при замене неизвестного точного значения параметра и его приближенным значением И:

Д = и - И(2.1.)

В виду случайности, ошибка Д также является случайной величиной со своим законом распределения. Найдем числовые характеристики ошибки:

Математическое ожидание.

M[Д] = M[и - И]= и - M[И] = b(2.2.)

Дисперсия.

D[Д]] = D[и - И] = D[И] = M[(Д)2] - b2(2.3.)

Величина b называется смещением оценки. Из (2.3) найдем среднее квадратичное отклонение, которое примем за меру близости оценки и оцениваемого параметра:

д2 = M [(Д)2] = D[И] + b2(2.4.)

Наилучшей в своем классе оценок будем считать такую оценку, которая имеет наименьшее среднее квадратичное отклонение д2 ( 2.4.).

Так как д2 складывается из двух частей: квадрата смещения и дисперсии оценки, то наилучшими оценками мы будем считать оценки с нулевым смещением и минимальной дисперсией.

Определение 2.2. Несмещенными называют оценки с нулевым смещением, т.е. математическое ожидание несмещенной оценки равно оцениваемому параметру.

Определение 2.3. Если несмещенная оценка обладает минимальной в своем классе оценок дисперсией, то она называется эффективной.

Еще один подход к анализу качества оценок связан с поведением оценок с ростом объема выборки: чем больше объем выборки, чем точнее должна быть оценка.

Определение 2.4. Оценка параметра называется состоятельной если она при n >? сходится по вероятности к оцениваемому параметру

Если И -- неизвестная числовая характеристика распределения, то оценочную функцию можно строить, например, следующим образом. Строим по имеющейся выборке статистический аналог нужной числовой характеристики и принимаем его за оценку неизвестного параметра.

Обоснованием данного метода служит асимптотическое поведение статистических аналогов параметров распределений - сходимость по вероятности к теоретическим характеристикам.

При этом учитываем, что моделью выборки является дискретная случай-ная величина, для которой pi =

Оценка математического ожидания

Оценкой математического ожидания является выборочное среднее:

(2.5)

Оценка дисперсии

Оценкой дисперсии будет выборочная дисперсия:

Аналогично рассчитываются оценки и для других числовых характеристик распределения.

Рассмотренный выше способ оценки (с помощью статистических аналогов) пригоден не для всех параметрических функций распределения. Кроме того, он не всегда приводит к наилучшим оценкам. Возникает вопрос -- какую оценочную функцию (статистику) считать наилучшей или «хорошей»?

Делись добром ;)