Практическая часть

Дано:

Определить тип кривой с помощью инвариантов в зависимости от в:

Вычислим инварианты:

1. Если , то имеем линии эллиптического типа

Этих в будет эллипс

При

При

2. Если то пишем линии параболического типа, при этом, чтобы была парабола

3. Если , то получаем линии гиперболического типа.

При гипербола

При корней нет, т.е. таких двух пересекающихся прямых, не существует.

Исследуем кривую при в=0 , тогда получим:

Сперва повернём на угол ц:

Найдём угол ц,такой чтобы коэффициент при был равен 0:

Пусть

Сгруппируем члены уравнения и дополним до полного квадрата:

Произведём перенос системы координат:

координаты нового центра O системы координат

т.е. мы правильно определили каноническое уравнение

Определим фокус эллипс.

Расстояние между найдём по:

В системе координат

Эксцентрический эллипс

Директрисы

Вывод

Исследовав общее уравнение кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мы установили, что данная кривая -- эллипс. Мы получили каноническое уравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей.

Исследование формы поверхности второго порядка

Теоретическая часть

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

,

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Уравнение (3.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.