Исследование математической модели прицепа, движущегося по неровной дороге
1.1 Затухающие колебания
Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: R= µv (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при её движении действует восстанавливающая сила F и сила сопротивления R.Тогда Fx =-cx, Rx =-µvx и дифференциальное уравнение движения будет иметь вид [3,10,14]:
Деля обе части уравнения на m, получим :
где обозначено:
При этом легко проверить, что величины k и b имеют
одинаковые размерности (1/сек); это позволяет сравнивать их друг с другом.
Уравнение (1) представляет собою дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение ищут в виде x=ent. Подставляя это значение x в уравнение (1), получим характеристическое уравнение n2 +2bn+k2=0, корни которого будут:
n1,2=-b±vb2-k2 (3)
Рассмотрим случай, когда k>b т.е. когда сопротивление по
сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение
k1=vk2-b2 (4)
получим из (3), что n1,2=-b±ik1,т.е. что корни характеристического
уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (1) будет иметь вид, отличающийся от уравнения свободных колебаний, т.е. имеет вид [10]:
x=e-bt (C1sink 1t+ C2cosk 1t) (5)
Или же в другом виде:
x=ae-bt sin(k 1t+б) (6)
Входящие сюда величины a и б являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.
Колебания, происходящие по закону (6) называются затухающими, так как благодаря наличию множителя e-bt величина x с течением времени убывает, стремясь к нулю, аналогичная ситуация происходит со скоростью и ускорением материальной точки [3,10,14].