Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ
1.1 Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ
дифференцирование алгебраическое нелинейное уравнение
Большинство известных итерационных методов решения системы F(X)=0 можно записать одной общей формулой
Хm+1=G(Хm, Хm-1,…,Хm-p+1),
где G - вектор-функция размерности n , которая определяется способом построения итерационного процесса; р - количество предыдущих значений Х, используемых в данном итерационном процессе.
Если в итерационном процессе используется только одна предыдущая точка (р=1), то
Хm+1=G(Хm)
Метод дифференцирования по параметру относится к этому случаю.
Основные характеристики итерационных методов:
Сходимость итераций. Итерации сходятся, если
lim Хm =Х* при m>?
Вектор-функция G(Х) называется изображением итерационного процесса. Спектральным радиусом квадратной матрицы А с(А) называется максимальный из модулей ее собственных значений. Предположим, что функция G(Х) определена и непрерывна вместе со своей первой производной
G/Х = дG/дХ
Теорема сходимости.
Если спектральный радиус матрицы G/Х с(G/Х)<1 и если векторы Хm+1=G(Хm) не выходят за области определения вектор - функций F и G, то процесс итераций Хm+1=G(Хm) сходится. При этом предельный вектор Х* = limХm при m>? является единственной точкой притяжения итераций.
Эта теорема справедлива для любого начального приближения Х0 и поэтому относится к теоремам о глобальной сходимости.
Трудность применения теоремы о глобальной сходимости состоит в том, что надо определять величины ri, i=1,n на каждом m-шаге итерационного процесса. Это практически невозможно.
Поэтому нашли применение теоремы локальной сходимости. При этом предполагают, что точка Х0 лежит близко к Х*. Спектральный радиус матрицы G/Х вычисляется только в точке Х0: с(G/(Х0))<1.
Выбор величины начального приближения.
Выбор величины Х0 зависит от вида сходимости метода. Если метод имеет локальную сходимость, то Х0 должно быть близко к Х*, если глобальную, то Х0 - любой. Часто Х0 = 0.
Скорость сходимости итераций.
Скорость сходимости итераций оценивается по скорости уменьшения величины ошибки
Em = |Хm-Х*|
Если условия сходимости выполняются, то часто скорость можно оценить формулой
||Em+1|| = с ||Em ||k , где k- целое число; с- константа.
Если k=1, то итерационный метод имеет линейную сходимость. При этом, если с?1, то сходимость медленная (метод простой итерации).
Если k=2, то метод обладает квадратичной скоростью сходимости. Так как ||Em ||<1, то ||Em||2 будет величиной второго порядка малости и поэтому скорость велика (метод Ньютона).
Критерий окончания итераций.
Расчеты по формуле Хm+1=G(Хm) не могут длиться бесконечно долго. Очевидно, что критерием окончания итерационного процесса могла бы служить величина Em, но нам неизвестно значение Х*. В связи с этим величину Em можно оценить косвенно.
Способ 1. Остановить процесс вычислений, когда ||F(Хm)|| ? едоп заданной допустимой погрешности. Заметим, что lim ||F(Хm)||=0 при m>?.
Способ 2. Остановить процесс вычислений, когда ||?Хm || < едоп. ?Хm = Хm+1 - Xm. Чем ближе к Х*, тем меньше величина ||?Хm ||.
Выбор способа зависит от характера поведения функций fi(Х) вблизи решения.
fi fi
Eim
едоп
Хi* Xim Xi* Xim Xi
едоп
Рис. 1.1 Рис. 1.2
Из рис. 1.1 видно, что если заканчивать итерационный процесс по величине ||F||, то при этом можно оказаться довольно далеко от Хi* по Хim . На рис. 1.2 - наоборот, итерационный процесс заканчивается при малых значениях ||?Хm ||, что приводит к большим ошибкам по ||Fm ||.
Способ 3. Чтобы избежать недостатков первых двух способов, контролируют обе нормы, а итерационный процесс заканчивают при том значении m, при котором
max{||?Хm ||, ||F(Хm)|| }< едоп
Следует заметить, что при плохой обусловленности матрицы G/Х вблизи Х* возможны колебания значений норм. Тогда нужно применять специальные методы уменьшения этих колебаний.