Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ

курсовая работа

1.1 Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ

дифференцирование алгебраическое нелинейное уравнение

Большинство известных итерационных методов решения системы F(X)=0 можно записать одной общей формулой

Хm+1=G(Хm, Хm-1,…,Хm-p+1),

где G - вектор-функция размерности n , которая определяется способом построения итерационного процесса; р - количество предыдущих значений Х, используемых в данном итерационном процессе.

Если в итерационном процессе используется только одна предыдущая точка (р=1), то

Хm+1=G(Хm)

Метод дифференцирования по параметру относится к этому случаю.

Основные характеристики итерационных методов:

Сходимость итераций. Итерации сходятся, если

lim Хm =Х* при m>?

Вектор-функция G(Х) называется изображением итерационного процесса. Спектральным радиусом квадратной матрицы А с(А) называется максимальный из модулей ее собственных значений. Предположим, что функция G(Х) определена и непрерывна вместе со своей первой производной

G/Х = дG/дХ

Теорема сходимости.

Если спектральный радиус матрицы G/Х с(G/Х)<1 и если векторы Хm+1=G(Хm) не выходят за области определения вектор - функций F и G, то процесс итераций Хm+1=G(Хm) сходится. При этом предельный вектор Х* = limХm при m>? является единственной точкой притяжения итераций.

Эта теорема справедлива для любого начального приближения Х0 и поэтому относится к теоремам о глобальной сходимости.

Трудность применения теоремы о глобальной сходимости состоит в том, что надо определять величины ri, i=1,n на каждом m-шаге итерационного процесса. Это практически невозможно.

Поэтому нашли применение теоремы локальной сходимости. При этом предполагают, что точка Х0 лежит близко к Х*. Спектральный радиус матрицы G/Х вычисляется только в точке Х0: с(G/0))<1.

Выбор величины начального приближения.

Выбор величины Х0 зависит от вида сходимости метода. Если метод имеет локальную сходимость, то Х0 должно быть близко к Х*, если глобальную, то Х0 - любой. Часто Х0 = 0.

Скорость сходимости итераций.

Скорость сходимости итераций оценивается по скорости уменьшения величины ошибки

Em = |Хm-Х*|

Если условия сходимости выполняются, то часто скорость можно оценить формулой

||Em+1|| = с ||Em ||k , где k- целое число; с- константа.

Если k=1, то итерационный метод имеет линейную сходимость. При этом, если с?1, то сходимость медленная (метод простой итерации).

Если k=2, то метод обладает квадратичной скоростью сходимости. Так как ||Em ||<1, то ||Em||2 будет величиной второго порядка малости и поэтому скорость велика (метод Ньютона).

Критерий окончания итераций.

Расчеты по формуле Хm+1=G(Хm) не могут длиться бесконечно долго. Очевидно, что критерием окончания итерационного процесса могла бы служить величина Em, но нам неизвестно значение Х*. В связи с этим величину Em можно оценить косвенно.

Способ 1. Остановить процесс вычислений, когда ||F(Хm)|| ? едоп заданной допустимой погрешности. Заметим, что lim ||F(Хm)||=0 при m>?.

Способ 2. Остановить процесс вычислений, когда ||?Хm || < едоп. ?Хm = Хm+1 - Xm. Чем ближе к Х*, тем меньше величина ||?Хm ||.

Выбор способа зависит от характера поведения функций fi(Х) вблизи решения.

fi fi

Eim

едоп

Хi* Xim Xi* Xim Xi

едоп

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Из рис. 1.1 видно, что если заканчивать итерационный процесс по величине ||F||, то при этом можно оказаться довольно далеко от Хi* по Хim . На рис. 1.2 - наоборот, итерационный процесс заканчивается при малых значениях ||?Хm ||, что приводит к большим ошибкам по ||Fm ||.

Способ 3. Чтобы избежать недостатков первых двух способов, контролируют обе нормы, а итерационный процесс заканчивают при том значении m, при котором

max{||?Хm ||, ||F(Хm)|| }< едоп

Следует заметить, что при плохой обусловленности матрицы G/Х вблизи Х* возможны колебания значений норм. Тогда нужно применять специальные методы уменьшения этих колебаний.

Делись добром ;)