Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ

курсовая работа

1.5 Дискретный метод Ньютона

Трудности практического применения метода Ньютона состоят в следующем:

1. Необходимость определения матрицы J = F/X.

При этом существует два подхода:

аналитический способ. Здесь метод Ньютона особенно эффективен. Однако точные формулы могут быть слишком громоздкими, что повышает вероятность ошибки. Кроме того функции F(X) могут быть заданы таблично;

конечно-разностная аппроксимация. При этом используется формула:

дfi/дxj = (fi(x1, …, xj + ?xj, …, xn) - fi(x1, …, xj - ?xj, …, xn)) / 2дxj .

В этом случае имеем дискретный метод Ньютона, который уже не обладает квадратичной сходимостью. Скорость сходимости можно увеличить, уменьшая ?xj по мере приближения к X*.

2. Вычисление матрицы J-1 на каждом шаге требует значительных вычислительных затрат. Поэтому часто вместо этого решают систему линейных АУ, которая формируется следующим образом. Очевидно, что ?Xm = Xm+1 - Xm. Тогда после алгебраических преобразований алгоритм Xm+1=Xm - J-1(Xm) ·F(Xm) примет вид:

J(Xm) · ?Xm = -F(Xm).

На каждом m-м шаге матрицы J(Xm) и F(Xm) известны. Необходимо найти ?Xm, как решение системы линейных АУ J(Xm) · ?Xm = -F(Xm). Тогда

Xm+1 = Xm + ?Xm.

Решение системы J(Xm) · ?Xm = -F(Xm) - наиболее трудоемкий этап, который определяет вычислительную эффективность каждой итерации.

Делись добром ;)